2018-02-14
1861
Аналитическиеметоды сглаживания предполагают этап идентификации, во время которого исследователь выбирает вид модели, т.е.не существует "автоматического" способа обнаружения тренда во временном ряде. Тем не менее, в некоторых случаях целесообразным представляется использование механического выравнивания временного ряда (например, если временные ряды содержат значительную ошибку). Механические методы часто применяются на практике в силу простоты расчета и достаточно высокой точности и сводятся к использованию различных методов сглаживания (фильтрации).
Итак, достаточно простым методом выявления тенденции развития процесса является сглаживание временного ряда, т.е. замена фактических уровней расчетными, имеющими меньшую дисперсию, чем исходные данные. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические (нерегулярные) компоненты взаимно погашают друг друга. В общем случае процедура сглаживания состоит в следующем: выбирается интервал временного ряда, с использованием элементов которого определяется выровненное значение элемента ряда; далее интервал сглаживания перемещается вправо и рассчитывается следующий член выровненного ряда и т.д. К наиболее популярным методам сглаживания относятся: сглаживание по двум точкам, метод скользящей средней, метод взвешенной скользящей средней, медианное сглаживание, простое экспоненциальное сглаживание [3,11,36,45].
|
|
|
Метод сглаживания по двум точкам. При использовании данного метода сначала рассчитывается средняя скорость прироста по первому и последнему членам ряда:
, отсюда 
.
Как недостаток метода следует отметить, что при определении среднего пророста учитываются только первый и последний элементы временного ряда, в результате чего тенденция выражена неточно.
Метод скользящих средних. Самый общий метод сглаживания - скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним 
соседних членов, где - ширина "окна". Окно – это временной интервал, по которому производится усреднение.
В зависимости от того, какой элемент заменяется, различают центрированное (симметричное) и нецентрированное (ассимметричное) скользящее среднее. По способу вычисления различают простое, взвешенное и экспоненциальное скользящее среднее.
Так, при использовании центрированной скользящей средней, для построения оценки тренда в точке 
по значениям ряда из временного интервала 
рассчитывают теоретическое значение ряда – в данном методе это простая средняя элементов указанного интервала. При выполнении процедуры происходит скольжение окном шириной 
по всему ряду от начала до конца. Ширину окна обычно берут нечетной, т.к. теоретическое значение рассчитывается для центрального значения: количество слагаемых 
с одинаковым числом элементов слева и справа от момента .
|
|
|
Формула для расчета скользящей средней в этом случае принимает вид:
В общем виде формула для расчета взвешенной скользящей средней принимает вид:
,
где 
- сглаженное (отфильтрованное) значение уровня на момент ; 
- вес, приписываемый уровню ряда, находящемуся на расстоянии 
от момента .
Введение весов позволяет приписать большие значения отдельным наблюдениям, например, более поздним наблюдениям.
Важная практическая задача состоит в нахождении оптимальных сглаживающих окон для конкретных временных рядов. Очевидно, имеются два предельных случая для ширины окна: число усредняемых значений очень мало – маленькое окно, или велико – большое окно. В первом случае флуктации ряда сглаживаются слабо, во втором – флуктации существенно уменьшаются, но в сглаженном ряде возникает смещение, - полученный ряд сдвигается относительно исходного. Этот сдвиг может существенно исказить существующую тенденцию временного ряда.
Дисперсия для 
равна 
(
- дисперсия исходных членов ряда), поэтому чем больше интервал сглаживания, тем сильнее усреднение данных и менее изменчива выделяемая тенденция.
Метод не дает значений тренда для первых и последних 
членов ряда. Тем не менее, чтобы не сужать область определения сглаженного ряда по сравнению с исходным, для устранения этих краевых эффектов используют различные методы. Например, для таких точек, за исключением концевых, вычисляется значение скользящей средней меньшего, максимально возможного порядка.
Метод центрированной скользящей средней имеет один существенный недостаток: сигнал о смене тенденции существенно запаздывает во времени. Однако необходимо как можно раньше определить смену тенденции, что можно делать с использованием нецентрированной (ассиметричной) скользящей средней.
В целом, при использовании сглаживания скользящей средней также следует учитывать следующие особенности скользящей средней: если рассмотреть ряд с периодическими колебаниями постоянной длины, то при сглаживании на основе скользящей средней с интервалом сглаживания, равным или кратным периоду, колебания полностью устраняться; нередко сглаживание на основе скользящей средней столь сильно преобразует ряд, что выделенная тенденция развития проявляется лишь в самых общих чертах, а более мелкие, но важные для анализа детали (волны, изгибы и т. д.) исчезают; этот метод (и другие, подобные ему) может вызывать автокорреляцию остатков, даже если она отсутствовала в исходном ряду (так называемый эффект Слуцкого – Юла). Все это требует осторожности в применении простой скользящей средней и заставляет искать более тонкие методы описания.
Медианное сглаживание. Если в описанном выше методе вместо среднего использовать медиану значений, попавших в окно, то мы приходим к методу медианного сглаживания. Для того, чтобы найти значение скользящей медианы в точке , вычисляется медиана значений ряда во временном интервале . Медиана ряда во временном интервале определяется как центральный член вариационного ряда - последовательности значений ряда, входящих в этот временной интервал, упорядоченной по возрастанию. Соответствующее значение называется 
-точечной скользящей медианой (СМ).
Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри окна). Если в данных имеются выбросы, то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким кривым, по сравнению со скользящим средним с тем же самым окном.
|
|
|
Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов, он приводит к более "зубчатым" кривым (чем сглаживание скользящим средним) и не позволяет использовать веса (рис. 3.13).
Простое экспоненциальное сглаживание. Экспоненциальная средняя является примером асимметричной скользящей средней, в которой учитывается степень старения данных - чем старее информация, тем с меньшим весом входит она в формулу для расчета сглаженного значения уровня ряда 
:
,
где - экспоненциальная средняя (в сглаживании участвуют все данные, полученные к текущему моменту t), 
- параметр сглаживания, характеризующий вес текущего (самого нового) наблюдения, 
.
По мере удаления от текущего момента времени в прошлое вес соответствующего члена ряда быстро (экспоненциально) уменьшается и практически перестает оказывать какое-либо влияние на значение .
Применение сглаживания. В зависимости от целей сглаживания применяется тот или иной метод либо их комбинация. Следует заметить, что повторное сглаживание уже сглаженного ряда дает несколько другие результаты, чем изменение параметров сглаживания. Одним из распространенных методов многократного сглаживания является фильтр 4253H, при использовании которого по шагам выполняются следующие преобразования ряда:
1) скользящее медианное сглаживание ряда по 4 точкам (слева и справа от текущей точки берутся по 2 точки ряда);
2) 5-ти точечное медианное сглаживание;
3) 3-х точечное медианное сглаживание;
4) 3-х точечное сглаживание скользящим средним с весами 0.25, 0.5, 0.25 (так называемыеHanning weights);
5) вычисляются остатки, к ним применяются шаги 1 - 4;
6) преобразованные остатки добавляются к преобразованному ряду.
