Определение периода сезонности

Сезонные эффекты, несмотря на то, что время их проявления и характер из года в год могут несколько изменяться, имеют достаточно регулярный характер. Размах и форма сезонных колебаний могут также демонстрировать эволюцию с течением времени. Однако регулярность (периодичность) сезонных колебаний позволяет проводить их идентификацию, что в свою очередь обеспечивает возможность сезонной корректировки временного ряда.

Любая периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка  между каждым - м элементом ряда и -м элементом. Если ошибка измерения не слишком большая, то сезонность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые  временных единиц. Ее также можно измерить с помощью автокорреляции, т.е. корреляции между самими членами ряда.

Автокоррелограмма отображает численно и графически автокорреляционную функцию (АКФ), иными словами коэффициенты автокорреляции для последовательности лагов из определенного диапазона (например, от 1 до 30).

Однако при изучении автокоррелограмм следует помнить, что автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой. Рассмотрим следующий пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, т.е. после взятия разности с лагом 1). Поэтому часто используется другой метод исследования периодичности, который состоит в исследовании частной автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной АКФ. В ней устраняется зависимость между промежуточными наблюдениями (наблюдениями внутри лага). Другими словами, частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из нее удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами. На лаге 1 (когда нет промежуточных элементов внутри лага), частная автокорреляция равна, очевидно, обычной автокорреляции. На самом деле, частная автокорреляция дает более "чистую" картину периодических зависимостей.

При изучении автокоррелограмм интерес в основном представляют очень сильные (т.е. высоко значимые) автокорреляции.

 

Виды сезонности

В анализе временных рядов различают два вида сезонности: мультипликативная и аддитивная.

Аддитивная форма предполагает, что сезонная компонента складывается с трендом (), мультипликативная же компонента умножается ().

Причем справедливо равенство ,  – период сезонности.

Одним из простейших, но часто применяемых, способов описания сезонной компоненты временного ряда является сезонная волна, усредняющая сезонный процесс за несколько однотипных периодов. Каждая сезонная волна имеет период колебаний, амплитуду, привязку минимумов и максимумов ко времени. Если эти характеристики стабильны во времени, то сезонная волна постоянна.

Сезонная волна представляет собой набор индексов сезонности для каждого месяца. В случае аддитивной модели индексы будут измеряться в абсолютных величинах (амплитуда сезонных колебаний не зависит от уровня тренд-циклической составляющей), а в случае мультипликативной модели - в относительных (амплитуда сезонных колебаний зависит от уровня тренд-циклической составляющей). На основании этого утверждения возможно визуальное определение вида сезонности. Так, если размах сезонных колебаний меняется при изменении значения трендовой составляющей, то мы имеем дело с мультипликативной сезонностью, если же нет – с аддитивной.

В случае мультипликативной сезонности корректировка прогноза производится путем умножения на индекс сезонности и для корректности вычислений необходимо, чтобы произведение всех индексов равнялось единице. В случае аддитивной сезонности к тренду добавляется сезонные отклонения, причем сумма сезонных эффектов за год должна равняться 0.

 

Сезонная волна

Пусть  - описание сезонного процесса за  сезонных периодов. Для мультипликативной сезонности определяется этот процесс следующим образом:

, ;

для аддитивной: , .

Сезонной волной этого процесса называется усредненное значение показателя сезонного процесса в каждом сезонном периоде.

Усредненное значение показателя определяется по формуле:

.

Усредненное значение показателя в каждом сезонном периоде можно определить различными методами: простой средней, по центральным членам ряда, по медиане. Все эти методы применимы, если тренд исключен из временного ряда.

 

Тема №5.