СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим СМО с неограниченной очередью (m=∞) и неограниченным временем ожидания в очереди. Поток требований на входе системы- простейший с интенсивностью λ. Продолжительность обслуживания требования подчинена экспоненциальному закону распределения со средним временем обслуживания . Тогда система может рассматриваться как марковская, вида M/M/n. Изменение вероятностей состояния во времени может быть записано с помощью уравнений, размножения и гибели.

В этой системе при k<n интенсивность процесса «размножения» (переход от состояния S_k-1 к состоянию S_k) всегда равна λ, а интенсивность процесса «гибели» (переход от состояния S_k+1 к состоянию S_k) равна (k+1)*µ.

При k≥n интенсивность процесса «размножения» остается равной λ, а интенсивность процесса «гибели» всегда равна n*µ и не зависит от числа требований в системе.

Приравнивая все  для стационарного режима, получим выражения для финальных вероятностей.

Вероятность Р_о ищется из нормирующего условия и равна

Условием существования стационарного режима и, соответственно, ненулевых является сходимость бесконечного ряда в выражении для . Для этого необходимо, чтобы интенсивность процесса "размножения", начиная с K=n, была бы меньше, чем интенсивность процесса гибели, т.е.  , или, иначе, ρ<n.

Если это условие не выполняется, то режима статического равновесия в СМО не существует, что приводит к неограниченному увеличению очереди. Это условие необходимо обязательно учитывать при проектировании реальных СМО.

Если условие ρ/n<1 выполняется, то, используя выражение для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим для

Отсюда

 

Найдем теперь основные характеристики СМО в стационарном режиме:

1) Так как очередь не ограничена и все требования, поступающие в систему будут обслужены, то .

2) П_n – вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты

или черезP₀

3) Среднее число занятых каналов

m_кан =

Т.к. все требования, поступающие в систему обслуживаются, то абсолютная пропускная способность системы (число требований обслуживаемых в системе в единицу времени) A=λ. Отсюда среднее число занятых каналов можно найти как

m_кан =  .

Т.е. в стационарном режиме, при условии, что ρ<n среднее число занятых каналов m_кан всегда равно ρ и не зависит от n.

4) Средняя длина очереди.

При  (ρ<n) ряд сходится и равен

Отсюда средняя длина очереди будет равна

5) Среднее число требований, находящихся в системе будет равно

Это можно показать, разбив Σ на 2 части: k<nи k ≥ nи представив во 2-й части k=n+(k-n).

6) Используя формулу Литтла можно найти среднее время нахождения требования в очереди и в системе.

Отсюда