Определение основных характеристик СМО

 

Рассмотрим Систему Массового Обслуживания следующего вида

 

 

. . .

Входной поток

Очередь

m

1

2

n

2

1

Каналы обслуживания

Выходной поток

 

Здесь: n – число каналов обслуживания, m –максимальная длина очереди.

В любой момент времени t заявка из входного потока либо становится в один из каналов на обслуживание, либо в очередь, если все каналы заняты.

Под состоянием СМО будем понимать k - число заявок, находящихся в ней. Оно будет изменяться от 0, когда заявок в системе нет, до n+m, когда все каналы обслуживаются, и все места в очереди заняты. Подобную СМО можно представить в виде графа состояний, с помощью которого можно записать описывающие его поведение уравнения. Решив их для любого произвольного момента времени t (в частности для стационарного режима t=∞) можно определить значения вероятностей нахождения СМО в одном из состояний S_k

          k = 0, n+m              t> 0.

Зная их можно определить основные характеристики СМО, такие как:

1. Среднее число занятых каналов обслуживания

2. Средняя длина очереди

3. Вероятность, что поступившее в момент времени tтребование получит отказ

4. Вероятность, что поступившее требование будет обслужено

 

Аналогично могут быть найдены:    

5. Вероятность, что поступившее в систему требование сразу поступит в канал на обслуживание

6. Вероятность, чтотребование попадёт в очередь

 

ФОРМУЛА ЛИТТЛА

Среди различных математических выражений, позволяющих определять основные характеристики СМО в стационарном режиме, особое место занимает выражение, устанавливающее связь между средним числом заявок, находящихся в системе (обслуживающих или стоящих в очереди), и средним временем пребывания заявки в системе.

Рассмотрим любую СМО – одноканальную, многоканальную, марковскую, не марковскую, с ограниченной или неограниченной очередью – и связанные с нею два потока: поток заявок, приходящих в систему и поток заявок, покидающих систему.

Если в системе установился стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих  в СМО за единицу времени равно среднему числу заявок, покидающих её за это же время. То есть оба потока имеют одинаковую интенсивность.

Обозначим: X(t) – число заявок, прибывающих в СМО, до момента t, Y(t) –число заявок покидающих СМО к моменту t. Тогда Z(t) = X(t) – Y(t) - - число заявок находящихся в системе в момент времени t (см рис)

 

Найдём среднее число заявок, находящихся в системе для некоторого, достаточно большого интервала T:

.

Пренебрегая погрешностью, за счёт отбрасывания части времени обслуживания заявки на конце интервала, можно считать, что суммарное время нахождения всех заявок в системе будет равно:

,    где i –все заявки, находящиеся в системе за время T, t_i –время пребывания i- й заявки в системе.

С другой стороны, суммарное время нахождения всех заявок в системе равно ,        где t_сист =  есть среднее время между двумя соседними заявками, поступившими в систему.

 

Подставим значение интеграла в выражение для m_сист. Умножив и разделив правую часть полученного выражения на λ получим

.

Здесь λ есть среднее число требований, вошедших в систему за единицу времени. Обозначим его в дальнейшем как λ_сист. Тогда в еличина λ_сист*T есть среднее число заявок, поступивших (вошедших) в систему за время T, а есть среднее время пребывания одной заявки в системе.

Подставив t_сист в выражение для m_сист получим

.

Откуда следует, что среднее время пребывания заявки в системе равно

– Формула Литтла.

 

Формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе t_сист равно среднему числу заявок в системе m_сист, деленному на интенсивность потока заявок, поступивших в систему λ_сист.

 

Аналогично можно получить формулу Литтла для следующих величин:

 

 

Среднее время пребывания заявки в очереди:

 = .

Среднее время пребывания заявки в канале обслуживания:

 = ,

Т.к. среднее время пребывания требования в канале  равно 1/  отсюда, с помощью формулы Литтла можно легко получить выражение для среднего числа занятых каналов:

 = = отсюда      .

Следует отметить, что во всех случаях  характеризует интенсивность требований, поступивших в систему, в не вообще входной поток заявок.

Если часть требований из потока заявок на входе теряется (например, в системах с отказами), то необходимо скорректировать значение интенсивности требований, подошедших к системе ,приняв вместо него интенсивность требований, вошедших в систему, т.е  , где  - вероятность, что требование поступит в систему (не получит отказ).С учетом сказанного выражение для среднего числа занятых каналов примет вид

(1-P_отк).