Процессы размножения и гибели

Как видно из предыдущего в случае, если для системы S имеется размеченный граф состояний и она является марковской, то для нее легко могут быть составлены уравнения Колмогорова- Чепмена, на основании которых рассчитывают значения вероятностей состояния системы как в произвольные моменты времени, так и в стационарном режиме (если он существует).

Общий интерес имеет случай, когда граф состояний системы представляет собой так называемую «схему размножения и гибели». В этом случае для финальных вероятностей удается получить достаточно простые выражения.

Особенность его состоит в том, что все состояния системы можно втянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний системы от S₁ до S_n_-1связано с соседними состояниями справа и слева прямой и обратной стрелкой(переходом),а крайние состояния и только с одним соседним (внутренним) состоянием

Термин «схема размножения и гибели» берет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции. Процесс размножения и гибели соответствует как бы двум потокам: «размножения» - переход от состояния к состоянию с интенсивностью за счет возникновения требований в системе и «гибели» - переход от к с интенсивностью – за счет убывания («обслуживания») требований.

Для схемы размножения и гибели граф состояний системы имеет вид:

В случае, если в системе существуют только потоки требований «вперед»,т.е. за счет их возникновения, то процесс рассматривается как «процесс чистого размножения». Если измерение состояний системы происходит только «назад», за счет обслуживания требований,то говорят о «процессе чистой гибели».

Пусть все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние –простейшие. Тогда уравнения Колмогорова-Чепмена для неё могут быть записаны в виде:

……………………..

……………………...

Для стационарного режима, при их можно записать в следующем виде:

…………………..…

…………………….

Подставив предыдущее уравнение в последующее (например, для второго уравнения) получим:

. Подставив из первого уравнения получим .

Подставив, аналогично, каждое предыдущее уравнение в последующее получим следующую систему:

…………………

………………

Каждое из уравнений этой системы характеризует баланс «прямых» и «обратных» потоков из состояния в состояние с учетом вероятностей состояний. Выразим из них вероятности всех последующих состояний через предыдущее:

…

Таким образом все финальные вероятности состояний системы можно выразить через интенсивность потоков и вероятность начального состояния . Дополнив систему нормирующим условием получим:

Отсюда получим выражение для P_0:

Или … .

Если число состояний n конечно, то ряд, стоящий в выражении для P₀ –сходится и, следовательно, вероятности P₀и P_k (1 ≤k≤n) отличны от нуля.В этом случае в системе существует стационарный режим.

Если же число возможных состояний n системы неограниченно (n = ∞), то ряд может расходиться. В этом случае режима статического равновесия в процессе (системе) не существует. Тогда P₀и остальные P_k (k> 0) будут = 0.

Для того, чтобы режим статического равновесия существовал необходимо, чтобы ряд в P₀сходился. Для этого необходимо, чтобы, начиная с некоторого состояния i₀, выполнялось условие для всех i>i₀. т.е. интенсивность процесса «гибели» была выше, чем интенсивность процесса размножения. В противном случае номер состояния k системы будет неуклонно возрастать.