Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

Вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной плоскости проекций π ₁ на чертеже показано на рисунке 2. Плоскость вращения α параллельна плоскости π ₁ и на фронтальной проекции изображена следом f_оα. Горизонтальная проекция центра вращения О' совпадает с проекцией оси – i', а горизонтальная проекция радиуса вращения ОА является его натуральной величиной. Поворот точки А на рисунке 105 произведен на угол φ против часовой стрелки; этот угол проецируется в истинную величину на плоскость π ₁.

Окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси, перпендикулярной к плоскости π ₁, проецируется на π ₁ без искажения, а на π ₂ в прямую линию, совпадающую с фронтальным следом плоскости вращения – f_оα.

Вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций π ₂, показано на рисунках 3, 4.

Рис.3                                                        Рис. 4

 

Плоскость вращения α параллельна плоскости π ₂ и на горизонтальной проекции изображена следом h_oα. Фронтальная проекция центра вращения О′′ совпадает с проекцией оси – i′′, а фронтальная проекция радиуса вращения ОА является его натуральной величиной. Поворот точки А на рисунке 3 произведен на угол φ против часовой стрелки. Этот угол спроецирован в истинную величину на плоскость π ₂.

Окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости π ₂, спроецировалась на π ₂ без искажения, а на π ₁ в прямую линию, совпадающую с горизонтальным следом плоскости вращения - hоα.

Из рассмотрения рисунков 1 и 3 отчетливо видно, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

Вращение точки вокруг проецирующей прямой применяют при решении некоторых задач, например, при определении натуральной величины отрезка прямой. При этом ось вращения – i нужно выбрать так, чтобы она проходила через одну из крайних точек отрезка, например, через точку В на рисунке 5.

Рис. 5

 

При повороте прямой АВ вокруг оси i точка В не изменит своего положения, т.к. она находится на этой оси. Точка А перемещается в положение А₁. Отрезок прямой АВ устанавливается в положение А₁В₁, параллельное к плоскости π ₂, и, следовательно, проецируется на нее в натуральную величину (А₁′′В₁′′=[АВ]). Одновременно в натуральную величину будет проецироваться угол наклона отрезка АВ к плоскости π ₁, в данном примере это угол α.

Вращение прямой ВС относительно оси, перпендикулярной к плоскости проекций π ₂ и проходящей через точку С показано на рисунке 6.

Рис. 6

При повороте прямой ВС вокруг оси i точка С не изменит своего положения, т.к. она находится на оси. Точка В перемещается в положение В₁. Отрезок ВС устанавливается в положение В₁С₁, параллельное к плоскости π ₁, и, следовательно, проецируется на нее в натуральную величину (В₁′С₁′=[ВС]). Так же в натуральную величину будет проецироваться угол наклона отрезка ВС к плоскости π ₂; в примере на рисунке 6 -  это угол – β.

6.3. Вращение вокруг двух осей, перпендикулярных к плоскостям проекций π ₁ , π ₂ (плоскопараллельное перемещение)

Если вращать геометрическую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на этой плоскости не изменяется ни по виду, ни по величине (меняется лишь положение проекции относительно оси проекций).

Проекции точек геометрической фигуры на плоскости, параллельной оси вращения, перемещаются по прямым, параллельным оси проекций х, за исключением проекций точек, расположенных на оси вращения. Поэтому можно применять способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения. В этом случае, не изменяя величины и формы одной из проекций геометрической фигуры, перемещают эту проекцию в требуемое положение, а затем строят другую проекцию так, как указано на примере (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Здесь указаны две стадии поворота ∆ АВС, расположенного в плоскости общего положения, с целью получения натуральной величины этого треугольника. Действительно, в последнем своем положении он параллелен плоскости π ₁, а это значит проекция А₂′В₂′С₂′ представляет собой натуральную величину ∆АВС. Но чтобы получить такое положение, надо повернуть плоскость общего положения, в которой расположен треугольник, сначала перпендикулярно к плоскости π ₂. Для этого надо горизонталь ∆АВС повернуть до перпендикулярности к плоскости π ₂; тогда и треугольник, содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к плоскости π ₂. Так как построение производится без указания осей вращения, то проекцию А′В′С′ располагают в произвольном месте, но так, чтобы горизонталь треугольника оказалась перпендикулярной к плоскости π ₂, для чего проекцию горизонтали А′1′ направляют параллельно линии связи А′′А′. При этом повороте подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости π ₁; поэтому горизонтальная проекция треугольника сохраняет свою величину (А₁′В₁′С₁′ = А₁В₁С₁), изменится лишь ее положение. Точки А,В,С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных π ₁, поэтому проекции А₁′′, В₁′′, С₁′′ находятся на горизонтальных линиях А′′А₁′′, В′′В₁′′, С′′С₁′′, отображающих следы плоскостей вращения точек А, В и С, соответственно.

При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное плоскости π ₁ положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости π ₂. Теперь фронтальная проекция при повороте сохраняет вид и величину, полученные во второй стадии поворота, точки А, В и С перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости π ₂, поэтому проекции А₂′, В₂′ и С₂′ находятся на горизонтальных линиях А₁′А₂′, В₁′В₂′ и С₁′С₂′, отображающих следы плоскостей второго вращения точек А, В и С.

Проекция А₂′В₂′С₂′ является натуральной величиной треугольника АВС. При таком способе упрощаются построения и не происходит наложения проекций одной на другую, но чертеж занимает большую площадь.

Для рассмотренного случая вращения, а именно без изображения осей вращения, встречается название «способ плоскопараллельного перемещения».