2018-02-13
1014
В качестве примера распространения плоских электромагнитных волн в проводящей среде рассмотрим поле в стальном листе при прохождении вдоль листа переменного магнитного потока Фm.
Лист (рис. 47.1,а) имеет толщину 2 a, высоту h (h >> 2 a) и большую протяженность в направлении, перпендикулярном рисунку. Средняя плотность магнитного потока по сечению листа
В ср = Фm / ( 2 ah).
Задача состоит в определении законов изменения Н и Е по сечению листа.
В силу симметрии напряженность магнитного поля на левой поверхности листа та же, что и на его правой поверхности. Обозначим ее через На и будем полагать известной (в дальнейшем выразим ее через В ср).
Так как толщина листа 2 a много меньше высоты листа h, то искажающим влиянием краев листа на поле можно в первом приближении пренебречь и считать, что в лист с двух сторон проникает плоская электромагнитная волна.
Расположим оси координат декартовой системы в соответствии с рисунком 47.1,а. Примем, как и прежде, 
Общее решение для 
имеет вид:
Из граничных условий найдем постоянные интегрирования. При 
(левая поверхность листа),
 | (47.1) |
при 
 | (47.2) |
Совместное решение этих уравнений относительно 
и 
дает
Следовательно, в произвольной точке
 | (47.3) |
Напряженность электрического поля
где
 | (47.4) |
При напряженность 
направлена вверх (вдоль оси – x); при – вниз (вдоль оси + x). Вектор Пойнтинга направлен к средней плоскости листа (внутрь листа).
Магнитная индукция в произвольной точке сечения листа
 | (47.5) |
Среднее значение магнитной индукции в листе
 | (47.6) |
Если считать 
известной и равной 
то из (47.6) можно найти напряженность поля на поверхности листа:
 | (47.7) |
Напряженность поля в средней плоскости листа (при z = 0) 
Отношение напряженности поля на краю листа (при z = a) к напряженности поля в средней плоскости листа:
 . | (47.8) |
Модуль Ch pa показывает, во сколько раз модуль 
больше модуля 
Модуль 
равен
 | (47.9) |
Расчеты по формуле (47.9) показывают, что напряженность поля в средней плоскости листа может быть во много раз меньше напряженности поля на поверхности листа.
Явление неравномерного распределения поля по сечению проводящего тела, вызванное затуханием электромагнитной волны при ее распространении в проводящую среду, называют поверхностным эффектом.
Если вдоль листа направлен магнитный поток, то поверхностный эффект часто называют магнитным, если вдоль плоской шины направлен переменный ток, то – электрическим поверхностным эффектом. Природа их одна и та же, а слова «магнитный» или «электрический» свидетельствуют лишь о том, что направлено вдоль листа (шины): поток или ток.
На рисунке 47.1, б построены две кривые. Кривая H(z) характеризует изменение модуля напряженности магнитного поля в функции z. В средней плоскости листа Н до нуля не снижается, так как 
. Кривая Н строится по уравнению (47.3). Кривая Е(z) характеризует изменение модуля напряженности электрического поля в функции от z.
2. Распространение электромагнитной волны в однородном и изотропном диэлектрике
У идеального диэлектрика проводимость равна нулю, поэтому в первом уравнении Максвелла первое слагаемое правой части (
) должно отсутствовать. В этом случае уравнения Максвелла для диэлектрической среды принимают вид:
 | (47.10) |
 | (47.11) |
и 
.
Для однородных и изотропных диэлектриков 
и условие 
равносильно условию 
Решим совместно уравнения (47.10) и (47.11). С этой целью возьмем ротор от (47.10):
Так как 
то и 
В свою очередь 
Поэтому
или
 | (47.12) |
Произведение 
имеет размерность, обратную размерности квадрата скорости V и потому можно принять εа μа = 1/ ν 2.
После введения такого обозначения уравнение (47.12) получает следующий вид:
 | (28.13) |
Для плоской линейно поляризованной электромагнитной волны, распространяющейся в направлении оси z, можно принять, что напряженность магнитного поля направлена вдоль оси y, т.е.
 =  | (47.14) |
Так как для плоской волны зависит только от координаты z и не зависит от координат x и y, то уравнение
принимает следующий вид:
 | (47.15) |
Уравнению (47.15) соответствует характеристическое уравнение
корни которого 
и 
Общее решение уравнения (47.14)
 | (47.16) |
Слагаемое 
представляет собой падающую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z, а слагаемое 
– отраженную волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z.
Напряженность электрического поля найдем из уравнения (47.10):
В плоской волне
Поэтому
Величину
называют волновым сопротивлением диэлектрика.
Таким образом
 | (47.17) |
где  | (47.18) |
Присутствие единичного орта оси x (орта i) свидетельствует о том, что вектор напряженности электрического поля направлен по оси x.
Таким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике, как и для проводящей среды, Е и Н взаимно перпендикулярны.
Перейдем к мгновенным значениям напряженностей:
 | (47.19) |
Из последних выражений видно, что по мере продвижения волны вдоль оси z амплитуды Е и Н остаются неизменными, т.е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.
Вопросы для самоконтроля
1. Поясните суть магнитного поверхностного эффекта.
2. В каком случае принято говорить об электрическом поверхностном эффекте и в чем его суть?
3. Какое направление имеет вектор Пойнтинга на поверхности листа и почему?
4. Запишите уравнения Максвелла для случая распространения плоской электромагнитной волны в однородном диэлектрике.
5. Как направлены векторы Е и Н в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в диэлектрике?
6. Почему, распространяясь в диэлектрике, электромагнитная волна не затухает?
