План лекции. 1. Какая электромагнитная волна считается плоской?

Лекция №14

Контрольные вопросы

1. Какая электромагнитная волна считается плоской?

2. Выведите уравнение Гельмгольца для напряжённости электрического поля.

3. От каких физических свойств зависит длина волны, которая в нём распространяется?

4. Что такое глубина проникновения электромагнитной волны?

Электромагнитное поле в пластине проводящего магнитного материала.

1. Электромагнитное поле в пластине, по которой распространяется синусоидальный магнитный поток.

2. Комплексная магнитная проницаемость материала пластины.

3. Электромагнитное поле в пластине, по которой протекает синусоидальный ток.

4. Сопротивление пластины переменному току.

Краткое содержание лекции

Пусть по пластине (рис. 1) распространяется синусоидальный магнитный поток с комплексным действующим значением . Найдём распределение электромагнитного поля в пластине. Для напряжённости поля уравнение Гельмгольца имеет вид:

Здесь вектор напряжённости магнитного поля имеет одну составляющую .

Поскольку пластина узкая и длинная (), напряжённость поля будет зависеть только от одной координаты z, для других координат:

Для данного случая уравнение Гельмгольца сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению:

(1)

Решением (1) будет функция:

(2)

где неизвестные комплексные постоянные.

Граничными условиями будут при ; при .

Используем эти граничные условия для определения С₁ и С₂.

Подставляя в (2), получаем:

, А/м

(3)

Величина напряжённости электрического поля будет равна:

(4)

, А/м²

Среднее значение индукции по толщине листа будет равно:

откуда

Магнитная проницаемость пластины рассматривается следующим образом:

(5)

Магнитная проницаемость является комплексным числом . При сильном поверхностном эффекте (большой частоте, большой проводимости металла) при большом значении Re(pa) и (5) запишется так:

откуда .

На единицу площадки пластины приходится поток мощности:

а на единицу объёма:

Рассмотрим шину, в которой протекает синусоидальный ток . Поскольку и шина длинная, то напряжённость поля является функцией одной координаты z, при этом

Имеем:

Характеристическое уравнение:

(6)

Плотность тока в шине равна:

Граничными условиями для уравнения (6) будут:

при

при

Величину можно найти, используя закон полного тока:

;

, А/м

Используя граничные условия, получаем систему уравнений относительно неизвестных постоянных С₁ и С₂:

Подставляя значения коэффициентов в (6), получаем:

Напряжённость электрического поля:

Плотность тока:

Модули гиперболических функций равны:

Модули напряжённости магнитного и электрического полей, а также плотности тока равны:

В системах передачи энергии обратным проводом для тока может служить земля.

В энергетических системах переменного тока это, как правило, только аварийный режим. При постоянном токе необходимо считаться сопротивлением в местах растекания тока с заземляющих электродов; на остальном протяжении ток распространяется на столь большое сечение, что сопротивление практически обращается в ноль. Напротив, при переменном токе вследствие поверхностного эффекта поле проникает не слишком глубоко.

Расчет синусоидального электромагнитного поля в цилиндре

Запишем систему уравнений Максвелла в комплексной форме:

откуда следует:

Систему уравнений для вектора плотности тока можно записать так:

,

или .

Поскольку , то следует:

(7)

Обозначим , тогда (7) запишется так:

,

(8)

где .

Поскольку значение вектора не зависит от z и α, то уравнение (8) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:

,

или

,

(9)

где .

Обыкновенное дифференциальное уравнение (9) можно привести к виду:

,

(10)

Уравнение (10) является частным случаем уравнения Бесселя:

,

(11)

где u = 0, 1, 2, …

Функции, удовлетворяющие уравнению (11), называются функциями Бесселя. Общий вид функции Бесселя записывается в виде:

,

(12)

где А и В – произвольные постоянные; – функция первого рода, – функция второго рода, n – порядок функции.

Уравнение для плотности тока (10) получается из общего уравнения Бесселя, если в нем считать, что n = 0.

,

(12)

где – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Так как при r = 0, то она в решение (10) не входит. Если на поверхности цилиндра плотность тока равна, то есть при , то:

,

и (12) перепишется так:

.

Напряженность магнитного поля определяется из соотношения:

откуда:

На поверхности цилиндра напряженность равна:

Пусть откуда следует:

На оси провода .

На поверхности провода .