2014-02-02
624
Лекция №14
Контрольные вопросы
1. Какая электромагнитная волна считается плоской?
2. Выведите уравнение Гельмгольца для напряжённости электрического поля.
3. От каких физических свойств зависит длина волны, которая в нём распространяется?
4. Что такое глубина проникновения электромагнитной волны?
Электромагнитное поле в пластине проводящего магнитного материала.
1. Электромагнитное поле в пластине, по которой распространяется синусоидальный магнитный поток.
2. Комплексная магнитная проницаемость материала пластины.
3. Электромагнитное поле в пластине, по которой протекает синусоидальный ток.
4. Сопротивление пластины переменному току.
Краткое содержание лекции
Пусть по пластине (рис. 1) распространяется синусоидальный магнитный поток с комплексным действующим значением 
. Найдём распределение электромагнитного поля в пластине. Для напряжённости поля уравнение Гельмгольца имеет вид:
Здесь вектор напряжённости магнитного поля имеет одну составляющую 
.
Поскольку пластина узкая и длинная (
), напряжённость поля будет зависеть только от одной координаты z, для других координат:
Для данного случая уравнение Гельмгольца сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению:
| (1) |
Решением (1) будет функция:
| (2) |
где 
неизвестные комплексные постоянные.
Граничными условиями будут 
при 
; 
при 
.
Используем эти граничные условия для определения С1 и С2.
Подставляя 
в (2), получаем:
 , А/м
| (3) |
Величина напряжённости электрического поля будет равна:
| (4) |
, А/м2
Среднее значение индукции по толщине листа будет равно:
откуда 
Магнитная проницаемость пластины рассматривается следующим образом:
| (5) |
Магнитная проницаемость является комплексным числом 
. При сильном поверхностном эффекте (большой частоте, большой проводимости металла) при большом значении Re(pa) 
и (5) запишется так:
откуда 
.
На единицу площадки пластины приходится поток мощности:
а на единицу объёма:
Рассмотрим шину, в которой протекает синусоидальный ток 
. Поскольку 
и шина длинная, то напряжённость поля является функцией одной координаты z, при этом 
Имеем:
Характеристическое уравнение:
| (6) |
Плотность тока в шине равна:
Граничными условиями для уравнения (6) будут:
при 
при 
Величину 
можно найти, используя закон полного тока:
;
, А/м
Используя граничные условия, получаем систему уравнений относительно неизвестных постоянных С1 и С2:
Подставляя значения коэффициентов в (6), получаем:
Напряжённость электрического поля:
Плотность тока:
Модули гиперболических функций равны:
Модули напряжённости магнитного и электрического полей, а также плотности тока равны:
В системах передачи энергии обратным проводом для тока может служить земля.
В энергетических системах переменного тока это, как правило, только аварийный режим. При постоянном токе необходимо считаться сопротивлением в местах растекания тока с заземляющих электродов; на остальном протяжении ток распространяется на столь большое сечение, что сопротивление практически обращается в ноль. Напротив, при переменном токе вследствие поверхностного эффекта поле проникает не слишком глубоко.
Расчет синусоидального электромагнитного поля в цилиндре
Запишем систему уравнений Максвелла в комплексной форме:
откуда следует:
Систему уравнений для вектора плотности тока можно записать так:
,
или 
.
Поскольку 
, то следует:
| (7) |
Обозначим 
, тогда (7) запишется так:
 ,
| (8) |
где 
.
Поскольку значение вектора 
не зависит от z и α, то уравнение (8) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:
,
или
 ,
| (9) |
где 
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (9) можно привести к виду:
 ,
| (10) |
Уравнение (10) является частным случаем уравнения Бесселя:
 ,
| (11) |
где u = 0, 1, 2, …
Функции, удовлетворяющие уравнению (11), называются функциями Бесселя. Общий вид функции Бесселя записывается в виде:
 ,
| (12) |
где А и В – произвольные постоянные; 
– функция первого рода, 
– функция второго рода, n – порядок функции.
Уравнение для плотности тока (10) получается из общего уравнения Бесселя, если в нем считать, что n = 0.
 ,
| (12) |
где 
– функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Так как 
при r = 0, то она в решение (10) не входит. Если на поверхности цилиндра плотность тока равна, то есть при 
, то:
,
и (12) перепишется так:
.
Напряженность магнитного поля определяется из соотношения:
откуда:
На поверхности цилиндра напряженность равна:
Пусть 
откуда следует:
На оси провода 
.
На поверхности провода 
.
