Признаки Абеля и Дирихле

Рассмотрим ряд , где - две последовательности вещественных чисел.

Признак Абеля: Если ряд сходится, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд сходится.

Признак Дирихле: Если частичные суммы ряда в совокупности ограничены, а числа образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю,  то ряд сходится.

Примеры решения задач:

Исследовать на сходимость ряды:

1.

Ряд, составленный из абсолютных членов, расходится по предельному признаку сравнения с рядом . Оба условия Лейбница выполняются: и .

Значит, исходный ряд сходится условно.

2. .

Рассмотрим ряд из модулей .            Сравним его с рядом , воспользовавшись предельным признаком сравнения: .

Ряд   расходится как гармонический с .

.

Ряд из модулей расходится, значит, наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью, но он сходится условно согласно признаку Лейбница, т.к. для любых значений и .

Ответ: сходится условно.

 

3. .

Решение: , рассмотрим .

Поэтому .

Т.е. при   все рассматриваемые суммы ограничены. В нашем случае .

.

Таким образом, ряд сходится по признаку Дирихле.

Приближенное вычисление суммы ряда

Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда , с заданной точностью .

1. Если и , то для остатка знакочередующегося ряда справедливо неравенство , т.е. остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда.

2. Если , то и   . Поэтому, решая неравенство , находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью .

3. Непосредственно вычисляем -ю частичную сумму ряда

.

Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью .

, .

Сумма ряда ,

где – остаток ряда. По условию задачи . Для знакочередующихся рядов остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому

.

Последнее неравенство выполняется при , значит достаточно оставить только первые пять членов ряда: