2018-02-20
2794
Рассмотрим ряд 
, где 
- две последовательности вещественных чисел.
Признак Абеля: Если ряд 
сходится, а числа 
образуют монотонную и ограниченную последовательность, то ряд сходится.
Признак Дирихле: Если частичные суммы ряда в совокупности ограничены, а числа образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю, то ряд сходится.
Примеры решения задач:
Исследовать на сходимость ряды:
1. 
Ряд, составленный из абсолютных членов, расходится по предельному признаку сравнения с рядом 
. Оба условия Лейбница выполняются: 
и 
.
Значит, исходный ряд сходится условно.
2. 
.
Рассмотрим ряд из модулей 
. Сравним его с рядом 
, воспользовавшись предельным признаком сравнения: 
.
Ряд расходится как гармонический с 
.
.
Ряд из модулей расходится, значит, наш знакопеременный ряд не обладает абсолютной сходимостью, но он сходится условно согласно признаку Лейбница, т.к. 
для любых значений 
и 
.
Ответ: сходится условно.
3. 
.
Решение: 
, рассмотрим 
.
Поэтому 
.
Т.е. при все рассматриваемые суммы ограничены. В нашем случае 
.
.
Таким образом, ряд сходится по признаку Дирихле.
Приближенное вычисление суммы ряда
Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда 
, с заданной точностью 
.
1. Если 
и 
, то для остатка знакочередующегося ряда 
справедливо неравенство 
, т.е. остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда.
2. Если 
, то и 
. Поэтому, решая неравенство , находим количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью .
3. Непосредственно вычисляем -ю частичную сумму ряда
.
Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью .
, 
.
Сумма ряда 
,
где – остаток ряда. По условию задачи 
. Для знакочередующихся рядов остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому
.
Последнее неравенство выполняется при 
, значит достаточно оставить только первые пять членов ряда:
