2018-02-20
1508
Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда
на отрезке 
. При каких 
абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 
?
Функциональный ряд 
называется равномерно сходящимся на отрезке 
, если для любого как угодно малого 
найдется такой номер 
, что при всех 
будет выполняться неравенство 
для любого 
из отрезка .
1. Т.к. 
, то имеем знакочередующийся ряд. Для знакочередующегося ряда остаток 
ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому
.
2. На отрезке 
имеем 
.
3. Решая неравенство 
, находим такой номер , что при всех 
будет выполняться неравенство
.
13.Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0.1 ?
.
Решение:
Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке 
, если для всякого можно найти такой номер , что при и любом 
модуль остатка ряда . Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому на отрезке 
откуда 
, значит, 
.
Т.е. для 
и 
и при любых 
.
Признак Вейерштрасса: Если 
при 
и числовой ряд 
сходится, то функциональный ряд сходится на отрезке абсолютно и равномерно.
14. Доказать, что функциональный ряд 
сходится абсолютно и равномерно для 
.
Решение: Воспользуемся тем, что 
. Запишем для знаменателя 
.
Тогда по признаку Вейерштрасса 
.
Ряд 
сходится как гармонический с 
. Значит, исходный ряд сходится абсолютно и равномерно.
15. Найти сумму ряда 
.
. Найдём сумму этого ряда почленным дифференцированием: 
Теперь остаётся проинтегрировать это выражение: 
Окончательно, 
.
Ряд Тейлора
Если функция 
в некоторой окрестности 
точки 
допускает разложение в степенной ряд 
по степеням 
, то этот ряд называется рядом Тейлора. 
- значение производной к - го порядка в точке . При 
ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена. Формула справедлива, если при остаточный член ряда Тейлора 
при 
.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Лагранжа:
, где 
.
Необходимо помнить следующие пять основных разложений (в скобках указана область сходимости ряда):
-
-
-
-
-
.
16. Разложить функцию 
в ряд Тейлора по степеням .
Представим функцию в виде 
.
Воспользуемся готовым разложением
Заменим на 
, 
.
Получим 
17. Разложить функцию 
в ряд по степеням .
Решение: 
. Находим производные данной функции: 
, 
.
Далее 
, 
и т.д. Вообще если - чётное 
, а если - нечётное, то
.
Подставляя в формулу Тейлора, имеем: 
.
Для определения области сходимости применим признак Даламбера. Имеем:
для любых . Значит, 
.
Остаточный член по формуле Лагранжа для нечётных : 
; для чётных
: 
.
Т.к. , то 
, 
и поэтому
. Ряд с общим членом 
сходится при любом , поэтому в соответствии с необходимым признаком сходимости 
.
18. Вычислить интеграл 
с точностью до 0,001.
Решение: т.к. 
, то данный интеграл равен
