Равномерная сходимость ряда

Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда

на отрезке . При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит ?

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для любого как угодно малого найдется такой номер , что при всех будет выполняться неравенство для любого из отрезка .

1. Т.к. , то имеем знакочередующийся ряд. Для знакочередующегося ряда остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому

2. На отрезке имеем .

3. Решая неравенство , находим такой номер , что при всех будет выполняться неравенство

13.Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0.1 ?

Решение:

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для всякого можно найти такой номер , что при и любом модуль остатка ряда . Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому на отрезке

откуда , значит, .

Т.е. для и и при любых .

Признак Вейерштрасса: Если при и числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится на отрезке абсолютно и равномерно.

14. Доказать, что функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно для .

Решение: Воспользуемся тем, что . Запишем для знаменателя .

Тогда по признаку Вейерштрасса .

Ряд сходится как гармонический с . Значит, исходный ряд сходится абсолютно и равномерно.

15. Найти сумму ряда .

. Найдём сумму этого ряда почленным дифференцированием: Теперь остаётся проинтегрировать это выражение:

Окончательно, .

Ряд Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точки допускает разложение в степенной ряд по степеням , то этот ряд называется рядом Тейлора. - значение производной к - го порядка в точке . При ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена. Формула справедлива, если при остаточный член ряда Тейлора при .