Область сходимости функционального ряда

Найти область сходимости функционального ряда .

При каждом допустимом значении рассматриваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Совокупность таких значений образует область сходимости ряда.

Алгоритм исследования:

1. Находим по одной из формул (если предел существует)  или .

2. Находим область сходимости, решая неравенство .

3. Исследуем поведение ряда в граничных точках области сходимости.

Найти область сходимости функционального ряда.

Пример 1. .

Решение: Воспользуемся признаком Даламбера .

Значит, признак Даламбера не работает. Воспользуемся сходством с гармоническим рядом. Имеем сходимость при , расходимость при .

Пример 2.   .

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

 

,

, значит, .

Исследуем сходимость на концах интервала:

 - расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

 

Область сходимости: .

Область сходимости степенного ряда

Найти область сходимости степенного ряда ,

Где – целое число не равное нулю.

1. Находим по одной из формул:  или .

 

где – общий член ряда. По признакам  Даламбера или Коши ряд сходится при и расходится при .  Для определения области сходимости, решаем неравенство .

2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках.

Можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле , а затем область сходимости из условия .