Расчет температуры воды водоемов методом суперпозиции (наложения) предложен А.И.Пеховичем и В.М.Жидких. Этот метод изложен в работе [11] и рекомендациях по термическому расчету водохранилищ [36]. Метод предусматривает использование дифференциального уравнения теплопроводности для непроточного водоема (Лекция №7):
∂ t /∂τ = a т ∂2 t /∂ z 2, (5.1)
где a т = λт/(c ρ) — коэффициент турбулентной температуропроводности.
Принцип суперпозиции состоит в том, что если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.
Этот принцип строго применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями.
Согласно этому определению, тепловую задачу со сложными краевыми уравнениями можно представить в виде суммы нескольких задач с более простыми условиями и находить решение (температуру) сложной задачи как алгебраическую сумму решений простых задач.
|
|
Разложение сложной тепловой задачи на простые должно производиться таким образом, чтобы сумма значений начальной температуры (t 01 + t 02 + …) и тепловых условий на поверхности воды (Q 1 + Q 2 + …) и на дне (Q д1 + Q д2 + …) для слагаемых задач была равна начальной температуре (t 0 = t 01 + t 02 + …) и тепловым условиям на поверхности (Q п = Q 1 + Q 2 + …) и на дне (Q д = Q д1 + Q д2 + …) в основной задаче. Коэффициенты температуропроводности a т, теплопроводности λт и теплопередачи α в решаемой и слагаемых задачах должны быть одинаковыми, за исключением случаев, в которых a т и λт меняются во времени.
Из изложенного следует, что для решения сложной тепловой задачи необходимо иметь набор решений простых задач. Авторы метода А.И.Пехович и В.М.Жидких разработали аналитические решения для 19 таких простых задач. Эти решения представлены в виде расчетных графиков в безразмерных координатах и сводной таблицы. Решения 19 задач позволяют рассчитать температуру воды в мелких, глубоких и очень глубоких водохранилищах, как при отсутствии ледяного покрова, так и при его наличии, а также в водохранилищах при их наполнении.
Безразмерные координаты графиков в зависимости от номера задачи (начальных и граничных условий) представлены искомой относительной избыточной температурой:
θи1 = (t - t п)/(t 0 - t п); θи2 = (t - θ2)/(t 0 - θ2); θи3 = (t - t 0)/(bτ) и т. п., (5.2)
критерием Фурье
Fo = a тτ/ h 2, (5.3)
критерием Био
Bi = α h / λт (5.4)
и относительной глубиной η = z / h, где t, t 0, t п и θ2 — соответственно температура воды в точке, начальная и на поверхности, а также температура воздуха на высоте 2 м; b — коэффициент при линейном задании температуры поверхности воды или воздуха; a т — коэффициент турбулентной температуропроводности; τ — время; z и h — соответственно переменная и полная глубина водохранилища; α и λт — соответственно коэффициенты теплоотдачи и турбулентной теплопроводности.
|
|
Рассмотрим метод суперпозиции на примере решения конкретной тепловой задачи, заимствованной из рекомендаций [36].
Требуется найти распределение температуры воды по глубине на конец третьей декады июня в слабопроточном водохранилище глубиной 40 м, если в начальный момент (1 июня) температура воды по глубине одинакова и равна 4°С. Нагрев воды происходит в результате теплообмена с атмосферой, его ход показан на рис.5.1 (схема 1): в течение первой декады (τ1) тепловой поток постоянен (Q 1 = 150 Вт/м2), в течение двух последующих декад он возрастает, причем во второй декаде (τ2) со скоростью Q¢о = 0,4 Вт/(м2·ч), а в третьей (τ3)—со скоростью Q²о = 0,3 Вт/(м2·ч). Коэффициенты турбулентной тепло- и температуропроводности воды соответственно равны: λт = 1000 Вт/(м·°С) и a т = 1 м2/ч.
Порядок расчета температуры воды по глубине водоема при названных выше условиях следующий.
Рис.5.1. Разложение теплообмена с атмосферой (1) на составляющие (2, 3, 4) [8]
1. Согласно принципу суперпозиции, раскладываем тепловой поток, приходящий на поверхность воды, на три составляющие (рис.5.1, схемы 2, 3, 4). Первый поток Q 1 действует в течение всего расчетного периода τ = τ1 + τ2 + τ3 = 30сут = 720ч. Второй поток действует с интенсивностью в течение периода τ2 + τ3 = 20сут = 480ч он равен Q 2 = (τ2 + τ3) =0,4(τ2 + τ3) Вт/м2. Третий поток теплоты действует в течение периода τ3 = 10сут = 240ч. Так как действие второго потока интенсивностью мы распространили и на период τ3, в то время как в этот период она равна, т.е. ниже, чем во второй декаде, поэтому третий поток следует находить по формуле Q 3 = () τ3 = - 0,1τ3 Вт/м2 (рис.5.1, схема 4).
Итак, решение общей задачи находим в виде суммы решений трех задач — по числу соответствующих потоков (Q 1, Q 2, Q 3).
2. Для каждой из трех задач устанавливаем начальные и граничные условия. В качестве начальных условий для первой задачи принимаем условия основной задачи: t 0 = 4°C. Тогда во второй и третьей задачах, согласно условию разложения сложной задачи на простые, в качестве начальных условий следует принять t 02 = t 03 = 0°С. В первой задаче в качестве граничного условия на поверхности воды принят источник Q 1 (теплообмен с атмосферой постоянный), во второй — Q 2 (теплообмен с атмосферой возрастает) и в третьей — Q 3 (теплообмен с атмосферой возрастает, но его рост ниже, чем во втором периоде).
Так как распределение температуры рассматривается в летний период (период отсутствия ледяного покрова), то для всех трех декад можно принять граничное условие на дне
Таким образом, получено, что сумма начальных и граничных условий слагаемых задач в каждый момент времени равна условиям основной задачи.
3. Находим решение общей задачи в виде суммы решений трех задач. Для этого обращаемся к перечню решений 19 простых задач, разработанных А.И.Пеховичем и В.М.Жидких, и обнаруживаем, что первая задача совпадает с задачей № 6, а вторая и третья задачи — с задачей № 7 этого перечня (рис.5.2). Причем во второй задаче в качестве Q 0 (графа 5) необходимо принять, а в третьей — ().
Рис.5.2. Решения слагаемых (простых) задач
Расчетная формула для определения температуры воды с учетом полученных решений для трех простых задач имеет вид
(5.5)
где относительная избыточная температура θи i определяемая формулами (5.2), находится по графикам, построенным для каждой задачи, в зависимости от критерия Фурье и относительной глубины η = z / h.
|
|
Результаты расчета температуры воды в водоеме по его глубине для рассматриваемого примера приведены в табл.5.1.
Таблица5.1