Основные понятия теории массового обслуживания

 

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют системы [1] специального вида, реали­зующие многократное выполнение однотипных задач. Подоб­ные системы называют системами массового обслуживания (СМО). В качестве примеров СМО в финансово-экономи­ческой сфере можно привести системы, представляющие собой банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипо­течные, инновационные, сберегательные), страховые организа­ции (государственные, акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы), налоговые инспекции, ау­диторские службы, различные системы связи (в том числе те­лефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (пор­ты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы). Такие сис­темы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обра­ботки информации, транспортные системы, автоматизирован­ные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами (прибо­рами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть раз­личные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выпол­нения) некоторого потока [2] заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, так­же длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных, порой неизвест­ных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобож­дается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к не­равномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в некоторые же дру­гие интервалы времени при свободных каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к про­стаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь, либо по какой-то причине невоз­можности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными. Схема СМО изображена на рис. 1.1.

Рисунок 5.1. – Схема СМО

Таким образом, во всякой СМО можно выделить следую­щие основные элементы:

1) входящий поток заявок;

2) очередь;

3) каналы обслуживания;

4) выходящий поток обслуженных заявок.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производи­тельности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Предметом изучения теории массового обслуживания явля­ется СМО.

Цель теории массового обслуживания — выработка рекомен­даций по рациональному построению СМО, рациональной ор­ганизации их работы и регулированию потока заявок для обес­печения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффек­тивности, функционирования СМО от ее организации (пара­метров): характера потока заявок, числа каналов и их произво­дительности и правил работы СМО).

В качестве характеристик эффективности функционирова­ния СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО — среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО — от­ношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу посту­пивших заявок за это же время.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслужи­ванием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожи­дания.

2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедлен­но будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО — потребитель", где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, при­носимый СМО в единицу времени и т.п.)  

Отметим, что третья группа показателей оказывается полез­ной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от об­служивания заявок и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, об­служиваемых заявок и дисциплиной обслуживания.

Случайный характер потока заявок и длительности их об­служивания порождает в СМО случайный процесс [3].    

Поэтому для решения задач теории массового обслужива­ния необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. постро­ить и проанализировать его математическую модель.

Математическое изучение функционирования СМО значи­тельно упрощается, если протекающий в ней случайный про­цесс является марковским [4]. В этом случае работа СМО сравнительно легко описывается с помощью аппарата конечных сис­тем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно дли­тельном функционировании СМО) — с помощью аппарата ко­нечных систем линейных алгебраических уравнений, и в ре­зультате удается выразить в явном виде основные характери­стики эффективности функционирования СМО через парамет­ры СМО, потока заявок и дисциплины работы СМО.

Чтобы случайный процесс был марковским (см. ([5], с.114), необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воз­действием которых происходят переходы системы из состояния. в состояние, были пуассоновскими [5]. В СМО потоками событий являются потоки заявок, потоки "обслуживании" заявок и т. д. Если СМО такова, что хотя бы один из ее потоков не является пуассоновским, то характеристики ее эффективности все же могут быть приближенно оценены с помощью марковской тео­рии массового обслуживания. При этом, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания — тем точнее оказы­ваются приближенные формулы, полученные при предположе­нии выполнимости в СМО марковских условий. Полезность марковских моделей мотивируется и тем, что во многих случаях для обоснованных рекомендаций по практическому управле­нию СМО совсем не требуется знаний точных ее характери­стик, а вполне достаточно иметь в своем распоряжении их приближенные значения.