2018-02-20
292
Пусть f(z) – однозначна и аналитична в некот окрестности т. z0, кроме т. z0, т.е. f(z) – однозн и аналит в круге с выколотым центром 0<| z-z0|<R, тогда представляются 2е возможности:
А) z0- прав т. ф-и f(z), если существует a=f(z0) и ф-я f(z) назыв правильной ф-ей.
Б) z0- назыв изолированной особой т. (однозначного характера) если она не явл-ся правильной.
, с помощью этого разложения установим необходимые и достаточные условия правильности ф-и f(z) в т. z0.
Теор: если f(z)- однозначна и аналитична в круге 0<| z-z0|<R, то ф-я f(z) – правильная в т. z0 если она ограничена в окрестности этой т., т.е. предел сущ и конечен, z0 – прав т.
Замеч: правильные точки называются устранимыми особыми точками.
Следствие: если z0 – изол особая т. => f(z) – неограниченна в окрестности т. z0, то предел от f(z) или не сущ или = ¥.
Пусть т. z0 – изол особая т., делящаяся на 2 случая:
1) z0 – полюс f(z), если предел f(z)=¥;
2) z0 – существенно особая т. f(z), если предел f(z) не сущ.
21.Исследование случая полюса. Связь м\у видом разложения аналит ф-и и характером особой т.
|
|
|
Пусть z0 – полюс ф-и f(z), f(z) – аналитична в круге с выколотым центром 0<| z-z0|<R. Сущ число d в пределе (0;R). F(z)=[1/f(z)]*|z-z0|<d, |F(z)|<1 => т. z0 для ф-и F(z) – правильная точка.
Теор: т. z0 – правильная для аналитической ф-и F(z) если т. z0 для ф-и f(z)=1/F(z) – аналитична.
Опр: порядком полюса ф-и f(z) назыв порядок нуля ф-и 1/f(z).
Установим, как по виду разложения ф-и f(z) аналитичной в круге0<| z-z0|<R в ряд Лорана опред вид особой т. f(z)=главная часть+правильная часть. 
.
Возможно три случая:
1) Если в разложении в ряд Лорана отсутствует глав часть (т.е. все a-n=0) => 
=> т. z0 – правильная т. ф-и f(z).
2) Если в разложении в ряд Лорана присутствует лишь конечное число членов глав части т.е. а-k ¹0, k<n => 
=> т. z0 – полюс k-го порядка.
3) Если в разложении в ряд Лорана присутствует бесконечное число членов глав части
a-n=0, для любых n от 1 до ¥ => т. z0 – существенно особая т.
