Интеграл и первообразная. Интегральная ф-ла Коши

Из интегральной теоремы Коши следует, что интеграл от аналитичной ф-и в односвязной области, вдоль любых двух кривых с общим началом z₀ и концом z имеют равные значения. L=L₁+L₂, .

Из интегр теор Коши следует, что интегр от аналитичной ф-и в односвязной области G зависит только от начальной и конечной точек. Поэтому для интеграла вдоль произвольной кусочно-гладкой кривой L, соединяющей т. z₀ и z можно использовать обозначение: . Зафиксируем значение , где F(z) – a-z своего верхнего предела.Покажем, что F(z) аналитична и F’(z)=f(z).

Теор: пусть f(z) – однозначна, аналитична и непрерывна в обл G, для которой интеграл вдоль любых замкнутых кус-гладких контуров принадлежит области и зависит только от начальных и конечных точек => является аналитичной ф-ей и F’(z)=f(z).

Опр: Ф(z) аналитична в некот обл G и называется первообразной для ф-и f(z) если Ф’(z)=f(z).  Справедлива ф-ла Ньютона-Лейбница => справедливы все методы интегрирования для ф-й действительных переменных.

Теор: если f(z) – однозначна и аналитична в обл G и на её границе L, состоящей из1 или нескольких кус-гладких контуров, ориентированных положительно, относительно G и т.z₀ÎG => справедлива ф-a: (1), в силу бесконечности дифференцируемой ф-и f(z) справедлива: (2). 1 и 2 – интегральные ф-лы Коши.

Ряды скомплексными членами. Сходимость. Абсол и условная схлдимость.

ОПР: Пусть Wn последовательность комплексных чисел W1, W2..Wn где каждое Wn = xn+iyn, тогда рядом с комплексными членами W1+ W2 +…+Wn = Сумма wn. (1)

Рядом (1) называется сходящимся если сходится последовательность его частных сумм Sn=Сумме Wi= W1+ W2 +…+Wn.

Теорема: Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно чтобы сходились последовательности Xn и iYn. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся если сходится ряд из его модулей.

Условно сходящимся, если ряд из его модулей расходится, а сам ряд сходится. К рядам применимы признаки Даламбера и радикальный признак Коши.