Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Рассмотрим ряд U1(z)+ U2(z)+ U3(z)+….+ Un(z) (1) комплексного перемен. Каждое Ui(z) определена в области Д. Рассмотрим точку z0 принадлеж области Д. z0 подставим в ряд (1).

Совокупность всех значений z при, котором ряд (1) сходится называется областью сходимости этого ряда. Ряд вида a0+a1(z-a)+ a2(z-a)²+….+ an(z-a)ⁿ (2), где любое ai- комплексное число ряда; a – комплексное число,z – комплексная переменная.

Сумма ряда от n=0 до безконечности an(z-a)ⁿ

Если а =0, то Сумма ряда от n=0 до безконечности an(z)ⁿ (3) степенной ряд по степеням z.

Теорем: Абеля: Если ряд (3) сходится в точке z0, тогда ряд (3)абсолютно сходится для любого z, где |z|<|z0|. Следствие: Если ряд (3) расходится или неабсолютно сходится в точке Z1 тогда ряд (3) расходится для любого z, где |z|>|z1|.

ОПР: Областью сходимости степенного ряда (3) является внутренность круга с центром в точке и R=|Z0|.Областью расходимости явл внешность в точках окружности z=|z0| поведение ряда исследуется особо. Замечание: В точке z=0 каждый степенной ряд сходит ся и его сумма = а0.

Рассмотрим случаи сходимости:

1)Ряд (3) может сходится только в одной точке - любой ряда вида (3) обязательно сходится.

2)Ряд (3) может сходится при любом значении z.

3)Ряд (3) может иметь точку сходимости отличную от «0» и точку расходимости, тогда по теореме Абеля, он может иметь бесчисленное множество точек сходимости и точек расходимости.

Теорема: В круге |z|<R ряд (3) абсолютно сходится, вне его расходится. Где R – радиус сходимости, |z|<R – круг расходимости. Для определения радиуса сходимости можно использовать признак Даламбера и радикальный признак Коши с использованием модулей.