Методы и способы измерений

Основы планирования эксперимента

Планирование эксперимента - это комплекс ме­роприятий, направленных на эффективную постановкуопытов. Иными словами, планирование эксперимента -это процедура выбора числа и условий проведения опы­тов, необходимых и достаточных для решения постав­ленной задачи с требуемой точностью. Основная цельпланирования эксперимента - достижение максималь­ной точности измерений при минимальном количествепроведенных опытов и сохранении статистической до­стоверности результатов.

Под объектом исследования в теории планирова­ния эксперимента подразумевается носитель некоторыхнеизвестных и подлежащих изучению свойств и качеств.

Принципы, положенные в основу теории планирова­ния эксперимента, направлены на повышение эффективно­сти экспериментирования, то есть должны обеспечивать:

- стремление к минимизации общего числа опытов;

- одновременное варьирование всеми переменны­ми, определяющими процесс, по специальным прави­лам - алгоритмам;

- использование математического аппарата, форма­лизующего многие действия экспериментатора;

- выбор четкой стратегии, позволяющей приниматьобоснованное решение после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоватьсяпланирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны.Примерами таких задач могут служить, например, поископтимальных условий, построение интерполяционныхформул, выбор существенных факторов, оценка и уточ­нение констант теоретических моделей, выбор наиболееприемлемых из некоторого множества гипотез и т.д.

Применение математической теории при планиро­вании эксперимента позволяет определенным образомоптимизировать объем экспериментальных исследова­ний и повысить их точность. Параметры, подлежащиеоптимизации, в теории планирования эксперимента при­нято называть факторами.

Фактор - это измеримая переменная величина, при­нимающая в некоторый момент некоторое определенноезначение и соответствующая одному из возможных спо­собов воздействия на объект исследования. Число воз­можных воздействий на объект принципиально не огра­ничено. Чтобы облегчить выбор, удобно разбить их на двегруппы. К первой группе относятся воздействия (факто­ры), определяющие сам объект, а ко второй - факторы,определяющие его состояние. Каждый фактор имеет об­ласть определения. В планировании эксперимента рас­сматриваются только дискретные области определенияфакторов. Кроме того, эти области всегда ограничены.Ограничения могут быть принципиальными и техниче­скими. Примером принципиального ограничения мо­жет служить абсолютный нуль температуры в обычныхтермодинамических системах. Если в ходе оптимизациифактор получил значение, близкое к принципиальномуограничению, то возможности объекта исчерпаны. При­мером технического ограничения может служить темпе­ратура плавления материала аппарата. При нагреваниидо этой температуры аппарат просто расплавится. Еслив ходе оптимизации значение фактора приблизилоськ технической границе, а желаемое значение параметраоптимизации еще не достигнуто, то может быть постав­лена новая задача: создать, например, более тугоплавкийматериал для аппарата. Решение этой новой задачи по­зволит продолжить оптимизацию.

Существуют два основных требования, предъявляе­мых к совокупности факторов. Это, во-первых, требова­ние отсутствия корреляции между любыми двумя факто­рами и, во-вторых, требование совместимости факторов.Отсутствие коррелированности факторов означает воз­можность установления какого-либо фактора на любойуровень вне зависимости от уровней других факторов.Если эти условия не выполняются, то нельзя планиро­вать эксперимент. Кроме того, нет никакой необходимо­сти включать в эксперимент коррелированные факторы,так как один из них не содержит никакой информации.Требование некоррелированности не означает, что меж­ду факторами нет никакой связи. Достаточно, чтобы этасвязь не была линейной. Это требование может налагатьограничения на области определения факторов.

Другие ограничения на область определения фак­торов налагаются требованием совместимости факто­ров. Несовместимость факторов возникает в том случае,если некоторые комбинации их значений, каждое из ко­торых лежит внутри области определения, не могут бытьосуществлены. Если в эти комбинации входят значенияфакторов, близкие к границам областей их определения,то устранение несовместимости производится просто со­кращением областей. Сложнее обстоит дело тогда, когдазапрещенные значения лежат внутри областей. Тогда об­ласти оказываются многосвязными. Это вызывает труд­ности, преодоление которых в некоторых случаях приво­дит к расчленению задачи на части.

Все факторы, учитываемые при проведении экспе­риментальных исследований, можно разделить на каче­ственные и количественные. Отбор факторов начинаютпосле того, как в распоряжении экспериментатора ока­жется их полный список. При составлении такого спискаследует перечислить все возможные удовлетворяющиеобщим требованиям факторы, как бы велико ни было ихчисло. Ограничение списка факторов с целью упрощениязадач исследования может привести к малоэффективнымили даже бессмысленным исследованиям.

Методы планирования эксперимента позволяютминимизировать число необходимых испытаний, уста­новить рациональный порядок и условия проведения ис­следований в зависимости от их вида и требуемой точно­сти результатов. Если же по каким-либо причинам числоиспытаний уже ограничено, то методы дают оценку точ­ности, с которой в этом случае будут получены резуль­таты. Методы учитывают случайный характер рассеяниясвойств испытываемых объектов и характеристик ис­пользуемого оборудования. Они базируются на методахтеории вероятности и математической статистики.

Планирование эксперимента включает в себя следу­ющие этапы:

1. Установление цели эксперимента (определениехарактеристик, свойств и т. п.) и его вида (определитель­ные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента(имеющееся или доступное оборудование, сроки работ,финансовые ресурсы, численность и кадровый составработников и т. п.), а также выбор вида испытаний (нор­мальные, ускоренные, сокращенные в условиях лабора­тории, на стенде, полигонные, натурные или эксплуата­ционные).

3. Выявление и выбор входных и выходных параме­тров на основе сбора и анализа предварительной (априор­ной) информации. Входные параметры (факторы) могутбыть детерминированными, то есть регистрируемымии управляемыми (зависимыми от наблюдателя), и слу­чайными, то есть регистрируемыми, но неуправляемыми.Наряду с ними на состояние исследуемого объекта мо­гут оказывать влияние нерегистрируемые и неуправля­емые параметры, которые вносят систематическую илислучайную погрешность в результаты измерений, напри­мер, ошибки измерительного оборудования, изменениесвойств исследуемого объекта в период эксперимента из-за старения материала или его износа, воздействия пер­сонала и т. д.

4. Установление потребной точности результатовизмерений (выходных параметров), области возможногоизменения входных параметров, уточнение видов воз­действий. При этом выбирается вид образцов или ис­следуемых объектов, учитывая степень их соответствияреальному изделию по состоянию, устройству, форме,размерам и другим характеристикам. На назначение сте­пени точности влияют условия изготовления и эксплуата­ции объекта, при создании которого будут использоватьсяэти экспериментальные данные. Условия изготовления,то есть возможности производства, ограничивают наи­высшую реально достижимую точность. Условия экс­плуатации, то есть условия обеспечения нормальнойработы объекта, определяют минимальные требованияк точности. Точность экспериментальных данных такжесущественно зависит от объема (числа) испытаний - чемиспытаний больше, тем (при тех же условиях) выше до­стоверность результатов.

5. Составление плана проведения эксперимента -количество и порядок испытаний, способ сбора, хране­ния и документирования данных. Порядок проведенияиспытаний важен, если входные параметры (факторы)при исследовании одного и того же объекта в течение од­ного опыта принимают разные значения. В ряде случаев,когда систематически действующие параметры сложноучесть и проконтролировать, их преобразуют в случай­ные, специально предусматривая случайный порядокпроведения испытаний (рандомизация эксперимента).Это позволяет применять к анализу результатов методыматематической теории статистики. Порядок испытанийтакже важен в процессе поисковых исследований: в за­висимости от выбранной последовательности действийпри экспериментальном поиске оптимального соотноше­ния параметров объекта или какого-то процесса можетпотребоваться больше или меньше опытов. Эти экспе­риментальные задачи подобны математическим задачамчисленного поиска оптимальных решений. Наиболеехорошо разработаны методы одномерного поиска (одно-факторные однокритериальные задачи), такие как методФибоначчи, метод золотого сечения.

6. Статистическая обработка результатов экспери­мента, построение математической модели поведенияисследуемых характеристик. Необходимость обработкивызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных,вне связи с остальными результатами, или же некоррект­ная их обработка могут не только снизить ценность прак­тических рекомендаций, но и привести к ошибочным вы­водам. Обработка результатов включает в себя:

- определение доверительного интервала среднегозначения и дисперсии (или среднего квадратичного откло­нения) величин выходных параметров (эксперименталь­ных данных) для заданной статистической надежности;

- проверка на отсутствие ошибочных значений (вы­бросов), с целью исключения сомнительных результатов издальнейшего анализа. Проводится на соответствие одномуиз специальных критериев, выбор которого зависит от за­кона распределения случайной величины и вида выброса;

- проверка соответствия опытных данных ранееаприорно введенному закону распределения. В зависи­мости от этого подтверждаются выбранный план экс­перимента и методы обработки результатов, уточняетсявыбор математической модели. Построение математиче­ской модели выполняется в случаях, когда должны бытьполучены количественные характеристики взаимосвя­занных входных и выходных исследуемых параметров.Это - задачи аппроксимации, то есть выбора математиче­ской зависимости, наилучшим образом соответствующейэкспериментальным данным. Для этих целей применяютрегрессионные модели, которые основаны на разложе­нии искомой функции в ряд с удержанием одного (линей­ная зависимость, линия регрессии) или нескольких (не­линейные зависимости) членов разложения (ряды Фурье,Тейлора). Одним из методов подбора линии регрессииявляется широко распространенный метод наименьшихквадратов (МНК). Название свое данный метод получил,исходя из основного принципа, которому должны удов­летворять полученные на его основе оценки параметров:сумма квадратов ошибки модели должна быть минималь­ной. Если случайные ошибки модели имеют нормальноераспределение, имеют одинаковую дисперсию и некор-релированы между собой, МНК-оценки параметров со­впадают с оценками метода максимального правдоподо­бия (ММП).

Для оценки степени взаимосвязанности факторовили выходных параметров проводят корреляционныйанализ результатов испытаний. В качестве меры взаимос­вязанности используют коэффициент корреляции: длянезависимых или нелинейно зависимых случайных вели­чин он равен или близок к нулю, а его близость к едини­це свидетельствует о полной взаимосвязанности величини наличии между ними линейной зависимости. Модельлинейной регрессии является наиболее изученной и наи­более часто используемой при проведении эксперимен­тальных исследований.

При обработке или использовании эксперименталь­ных данных, представленных в табличном виде, возни­кает потребность получения промежуточных значений.Для этого применяют методы линейной и нелинейной(полиноминальной) интерполяции (определение проме­жуточных значений) и экстраполяции (определение зна­чений, лежащих вне интервала изменения данных).

Процедура использования упомянутых методовматематической обработки результатов эксперимен­тальных исследований в данном учебно-методическомпособии не рассматривается, поскольку требует боль­шого объема научного и методического материала. Прииспользовании математических методов обработки по­лученной информации следует обращаться к специаль­ной литературе.

7. Объяснение полученных результатов и формули­рование рекомендаций по их использованию, уточнениюметодики проведения эксперимента.

Проверить значимость уравнения регрессии - зна­чит установить, соответствует ли математическая мо­дель, выражающая зависимость между переменными,экспериментальным данным и достаточно ли включен­ных в уравнение объясняющих переменных (одной илинескольких) для описания зависимой переменной. Дляпроверки значимости выдвигают нулевую гипотезу о на­дежности параметров. Нулевая гипотеза НО - это основ­ное проверяемое предположение, которое обычно фор­мулируется как отсутствие различий, отсутствие влиянияфактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значенийвыборочных характеристик и т.п. Другое проверяемоепредположение (не всегда строго противоположное илиобратное первому) называется конкурирующей или аль­тернативной гипотезой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной илинеправильной, поэтому возникает необходимость прове­рить ее. Так как проверку производят статистическимиметодами, то данная проверка называется статистиче­ской. При проверке статистических гипотез возможныошибки (ошибочные суждения) двух видов:

- можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она насамом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

- можно принять нулевую гипотезу, когда она на са­мом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).

Альтернативные гипотезы принимаются тогдаи только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Этобывает в случаях, когда различия в средних арифметиче­ских экспериментальной и контрольной групп настолькозначимы (статистически достоверны), что риск ошибкиотвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативнуюне превышает одного из трех принятых уровней значи­мости статистического вывода. Уровень значимости - этовероятность ошибки первого рода при принятии решения(вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы):

1- й уровень - 5 % (a= 0,05), где допускается рискошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически воз­можных таких же экспериментов при строго случайномотборе для каждого эксперимента;

2- й уровень - 1 % (a= 0,01), т. е. соответственно до­пускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

3- й уровень - 0,1 % (a= 0,01), т. е. допускается рискошибиться только в одном случае из тысячи.

Последний уровень значимости предъявляет оченьвысокие требования к обоснованию достоверности ре­зультатов эксперимента и потому редко используется.В эконометрических исследованиях, не нуждающихсяв очень высоком уровне достоверности, представляетсяразумным принять 5 % уровень значимости

Методы и способы измерений.