2020-01-15
134
Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий 
равна
. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События 
называются независимыми в совокупности, если события 
и 
- независимые при любом выборе событий 
из данной совокупности и любом 
.
Для независимых и 
условные вероятности 
и формула (11.1) принимает вид
. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный ( 
), зеленый ( 
) и синий ( 
) цвета, а четвертая - в три цвета ( 
). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна 
. Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна 
. Таким образом, события 
и независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события 
, и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна 
. Отсюда следует, что события , и С не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из 
параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна 
. Разрыв цепочки из 
параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий 
, 
, - разрыв 
-го элемента. Таким образом, необходимо определить 
. Согласно формуле (11.2)
. 
(11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна 
. В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий , . Следовательно, необходимо определить 
. Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие 
, которое состоит в том, что 
-й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно 
, откуда 
- вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента
. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при 
и 
получаем 
и 
