Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий равна
. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События называются независимыми в совокупности, если события и - независимые при любом выборе событий из данной совокупности и любом .
Для независимых и условные вероятности и формула (11.1) принимает вид
. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный ( ), зеленый ( ) и синий ( ) цвета, а четвертая - в три цвета ( ). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна . Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна . Таким образом, события и независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события , и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна . Отсюда следует, что события , и С не являются независимыми в совокупности.
|
|
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна . Разрыв цепочки из параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий , , - разрыв -го элемента. Таким образом, необходимо определить . Согласно формуле (11.2)
. (11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна . В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий , . Следовательно, необходимо определить . Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие , которое состоит в том, что -й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно , откуда - вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента
. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при и получаем и
|
|