Формула сложения вероятностей

Образуем из событий  и  с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:

.             (8.1)

Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий: . Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):

где  - достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).

Пусть эксперимент  выполнялся  раз, и в качестве его исхода событие  наблюдалось  раз, событие  наблюдалось  раз, событие  -  раз и событие  -  раз. Очевидно,

    .                          (8.2)

Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:

.            (8.3)

Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):

. Поэтому частота

    .                               (8.4)

Аналогично  и частота  события  имеет вид:

    .                               (8.5)

Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):

    .       (8.6)

Отсюда:

    .         (8.7)

Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:

    ,                 (8.8)

которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.

Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):

    .               (8.9)

Если события  и  несовместны, то =0 и формула сложения вероятностей принимает вид:

    .                             (8.10)