Формула умножения вероятностей

Объединение первых двух событий системы (8.1) . В последовательности из опытов событие появилось раз, а событие - раз. Поэтому событие появилось раз. Определим число появлений события при условии, что событие произошло. Событие происходит, если происходит или , число таких исходов равно , при этом событие происходит, если происходит , число таких исходов равно . Таким образом, условная частота появления события при условии, что произошло

. (9.1)

Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:

(9.2)

- формула умножения частот.

Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)

, (9.3)

поскольку событие и появляется раз в последовательности из опытов, при этом событие происходит раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:

(9.4)

- второй вариант формулы умножения частот.

Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:

. (9.5)

Если события и независимые, то условные вероятности равны безусловным: , тогда (9.5) принимает вид:

. (9.6)

Обобщение формулы сложения вероятностей

Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий равна

. (10.1)

Здесь, например , означает тройную сумму по индексам ,и , которые пробегают значения и удовлетворяют условию . Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как - кратную сумму по индексам при условии на индексы: , что и приводит к вырождению - кратной суммы до одного слагаемого (10.1).