Принцип двойственности для событий

В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:

,                                  (6.1)

.                                   (6.2)

Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1) , , тогда (6.1)  или , что совпадает с (6.2).

Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда

,                                    (6.3)

теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события  и  заменить на противоположные  и , объединение на пересечение и наоборот – пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.

К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:

,                                (6.4)

геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где  отмечено горизонтальной штриховкой и  – вертикальной штриховкой.

Рис. 6.1. События ,  и их дополнения.

Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события: – горизонтальной

Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий  и .

штриховкой,  – вертикальной штриховкой и  – штриховкой "в клеточку".

Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий  и .

Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.

Условные вероятности

Пусть события  и  имеют вероятности  и . Рассмотрим вероятность события , если известно, что произошло событие . При этом в общем случае вероятность события  изменяется и становится отличной от . Эта вероятность обозначается  и называется условной вероятностью события  при условии, что  произошло, или просто – вероятностью  при условии .

Следует различать две ситуации. 1). Если , то события  и  зависимые. 2). Если , то события  и  независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие  - это выпадение единицы,  - выпадение нечетного числа. Тогда =1/6, а =1/3, следовательно  и  - зависимые события.

Если  - результат опыта, то  называют доопытной или априорной вероятностью события , а условную вероятность  - послеопытной или апостериорной вероятностью события .