Алгебраическое решение

.

Пусть , тогда . Имеем

.

Подберем  так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть

.

Подбором находим, что  является корнем уравнения

.

Подставим  в уравнение , после чего оно примет вид

.

Перейдем к переменной

Подставив получившиеся значения переменной  во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной

Ответ: ; ; ; .

Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений

[18].

Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение . Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.

Перепишем систему в виде

.

Докажем, что все числа  по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть  – максимальное из чисел  и , то . Пришли к противоречию. Если число  – минимальное и , то . Опять пришли к противоречию. Итак .

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим . Тогда , , . Число решений исходной системы равно числу решений уравнения

.

Условию  удовлетворяет 27 решений

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Выразим переменную

.

Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.