На основе спектральных характеристик объекта

 

Цель работы:

- Освоить метод Байеса.

- Промоделировать исходные и контрольные значения спектральных характеристик и определить решающее правило для распознавания состояний объекта.

- Научиться решать задачу распознавания состояний объекта по спектральным характеристикам его параметров.

Сущность метода Байеса

Формула Байеса, известная из теории вероятностей, имеет следующий вид:

 

,

 

где p₀(R_j) - априорные вероятности существования образов R₁, R₂,... R_r;

  p(x₁/R_j) - условная вероятность того, что признак присутствует в образе R_j;

- вероятность наличия признаков x₁, x₂,... x_m во всех образах;

m - число признаков;

r - число образов.

Формула дает возможность определить апостериорную вероятность существования образа R₁ при наличии независимых признаков x₁, x₂,... x_m.

Из теории вероятностей также известно, что вероятность противоположного события  - имеет вид:

 

.

 

Множество условных вероятностей  и  образуют прототип для данного образа R_j.Подсчитав условные вероятности для ряда образов, можно определить тот образ, для которого эта вероятность наибольшая.

Метод Байеса содержит три этапа:

а) обучение системы распознавания с генерацией разрешающего правила,

б) проверка системы распознавания,

в) использование системы распознавания

Под системой распознавания понимается совокупность алгоритма, программы, а иногда и технического устройства для распознавания образа. Разрешающее правило представляет собой конечное аналитическое выражение для принятия решения о принадлежности события к тому или иному классу (образу). На практике вместо вероятностей приходится использовать частности событий.

Пример.

Рассмотрим применение метода Байеса для распознавания двух состояний (образов) объекта R₁ и R₂ по трем признакам. В качестве состояний объекта могут быть состояния R₁, соответствующее нормальному состоянию технологического процесса, и R₂ - для ненормального состояния. В качестве признаков x₁, x₂ и x₃ примем оценки интенсивности  трех гармоник некоторого параметра, например, напряжения электрического тока, отражающих состояние объекта.

Этап обучения системы произведем на основе десяти замеров напряжения на объекте, причем пять замеров соответствуют образу R₁ и пять - R₂.

Исходные данные, необходимые для обучения системы, представлены в таблице.

                                                              

                                                        Таблица 

		R1				R2
№	x1	x2	x3	№	x1	x2	x3
1	+1	+1	-1	6	+1	-1	+1
2	+1	+1	+1	7	-1	+1	+1
3	- 1	+1	+1	8	-1	+1	+1
4	+1	+1	-1	9	-1	+1	+1
5	+1	-1	-1	10	+1	-1	+1
ЦС	+1	+1	-1	ЦС	+1	+1	-1

 

Таблица заполняется следующим образом: в клетки вписывается +1 или -1 в зависимости от знака разности S_i - m_i, где S_i – оценки интенсивности i-ой гармоники (i = 1..3) в данном замере, а m_i - среднее значение среди S_i для всех десяти замеров. ЦС означает центральное значение параметра x, определяемое по большинству значений среди ноликов и единиц. В режиме обучения определяем условные вероятности; т. е. вероятности появления признака x_i в событии R₁ или R₂.

 

p(x1/R1)=4/5=0,8
p(x2/R1)=4/5=0,8
p(x3/R1)=2/5=0,4
p(x1/R2)=3/5=0,6
p(x2/R2)=3/5=0,6
p(x3/R2)=4/5=0,8

 

Предположим, что априорные вероятности событий R₁ и R₂ равны, т. е. равны 0,5. Разрешающее правило для отнесения некоторого замера к образу R₁ или R₂ определим по максимальной величине произведения вероятностей, представленных в числителе в формуле Байеса. В этом случае значение знаменателя рассчитывать необязательно. Таким образом, если P_R1 > P_R2, то данный замер принадлежит образу R₁,в противном случае - R₂, При равенстве вероятностей P_R1 = P_R2 состояние объекта не определено.

Произведем проверку полученной системы распознавания. Пусть в результате замера напряжения в состоянии R₁ получены данные: x₁=+1;   x₂=-1;  x₃=-1.

Рассчитаем вероятности соответствия этих признаков состоянию R₁, т. е. P_R1 и состоянию R₂, т. е. P_R2.

P_R1 = 0,5^. 0,8^. 0,2^. 0,6=0,048;       P_R2 = 0,5^. 0,6^. 0,4^. 0,2=0,024.

В результате подтвердилась принадлежность контрольного замера состоянию R₁, т. к. P_R1 > P_R2.

Аналогично производится проверка распознавания заранее известного состояния объекта R₂ по полученным признакам.

 

Упражнение 8.

 

а) Составить модель матрицы спектров объекта для состояний R₁ и R₂ по трем гармоникам f₁=1 Гц f₂=2 Гц и f₃=4 Гц. При этом принять, что диапазон изменения спектральных плотностей для каждой гармоники D_i = 0...S_i - для состояния R₁ и D_i = 0,5S_i...1,5S_i, где S_i - спектральная плотность i-ой гармоники, рассчитанная для соответствующего варианта в упражнении 3.

Принять число замеров (реализаций) для состояния R₁ и для состояния R₂, равное 5. Для моделирования спектров можно использовать генератор случайных чисел.

б) Произвести обучение системы распознавания и определить разрешающее правило. Принять, что априорные вероятности нахождения объекта в состоянии R₁ и R₂ одинаковы.

в) Аналогично п. «а» промоделировать по три проверочных реализации для состояния R₁ и состояния R₂.

г) Провести распознавание всех контрольных реализаций.

д) Результаты распознавания проанализировать и дать оценку системе распознавания.