2020-01-15
86
1) установление вида зависимости y = f (x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
Наиболее часто для нахождения неизвестных параметров применяется метод наименьших квадратов, заключающийся в том, что бы было минимальным выражение
.
Рассмотрим случай, когда зависимость является линейной, т.е. y = f (x) есть линейная функция y=ax+b с неизвестными параметрами a, b.
Для этого необходимо найти наименьшее значение функции двух переменных
.
По необходимому условию экстремума функции двух переменных
, т.е. 
,
или 
.
Эта система называется системой нормальных уравнений.
Определитель этой системы 
>0. Это можно доказать методом математической индукции. Следовательно, система имеет единственное решение.
Также можно доказать, что это решение является точкой минимума функции S (a, b).
ЗАМЕЧАНИЕ, Если линейная функция имеет следующий вид:
у = а + вх, то система нормальных уравнений-другая, см. пример.
Пример. Исходные данные задачи
| Х | 72 | 52 | 73 | 74 | 76 | 79 | 54 | 68 | 73 | 64 |
| Y | 121 | 84 | 119 | 117 | 129 | 128 | 102 | 111 | 112 | 98 |
Решение.
1. Если линейная функция имеет следующий вид:
у = а + вх
Тогда для расчета параметров а и в решаем систему нормальных уравнений:
nа + в∑х = ∑у
а∑х + в∑х2 = ∑ух
Рассчитаем составные элементы данной системы.
По данным табл. находим значения неизвестных параметров.
Отсюда получается, что ŷ = а + вх, 
ŷ = 15,926 + 1,404*х
