2020-01-15
80
Остановимся теперь на методе интегрирования однородного уравнения. Подстановкой
y(x) = xu(x)
это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Продемонстрируем это на примере уравнения (31). Имеем:
y' = u(x) + xu'(x).
Ввиду этого соотношение (31) принимает вид:
u + xu' = f(u).
Разделяя переменные, получим:
.
Отсюда находим общий интеграл уравнения:
.
После нахождения u(x) необходимо вернуться к функции
y(x) = xu(x).
Замечание 1. Если существуют корни уравнения f(u) = u, то к найденным решениям добавляются стационарные решения
u(x) = u*, где u* – любой корень уравнения f(u) = u.
Пример 6. Решить уравнение:
. 
Это уравнение является однородным. Выполнив замену
y(x) = xu(x), приходим к уравнению:
. (34)
Разделяя в нем переменные, получим при u ¹ 1
,
или
,
.
Кроме этого, у уравнения (34) имеется стационарное решение u(x) = 1. Таким образом, решением исходного уравнения являются функции:
.
3. К однородным уравнениям приводятся дифференциальные уравнения вида:
, kn–lm ¹ 0, (35)
где k, l, p, m, n, q – некоторые постоянные. Этого можно добиться, сделав замену переменных:
t = x – a; z = y – b, (36)
и выбрав постоянные a и b таким образом, чтобы свободные члены в правой части выражения (35) стали равными нулю. Действительно, на основании (35), (36) имеем:
.
Приравнивая к нулю свободные члены в числителе и знаменателе дроби, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
. (37)
Определитель этой системы равен kn – ml и в силу (35) отличен от нуля. Следовательно, у этой системы существует единственное решение и пара (b,a) определена однозначно. Таким образом, в результате проведенной замены уравнение (35) преобразуется к однородному уравнению:
.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
1. Определение. Дифференциальное уравнение вида
a (x)y' + b (x)y + g (x) = 0 (39)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Предполагается, что a (x), b (x) и g (x) – непрерывные на некотором промежутке функции. Если a(x) ¹ 0, то уравнение (39) можно преобразовать следующим образом:
y' + p(x)y = f(x), (40)
где 
; 
.
Дифференциальное уравнение:
y' + p(x)y = 0 (41)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (40).
Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (40) применим метод Лагранжа (другое название этого метода – метод вариации произвольной постоянной). Сначала найдем решение уравнения (41), которое представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Очевидно, что y = 0 является решением уравнения (41). При y ¹ 0 имеем:
.
Интегрируя это уравнение, получим:
ln|y| = -P(x) + ln|C|,
где 
, а C – отличная от нуля постоянная. Из последнего уравнения находим общее решение уравнения (41):
y = Ce-P(x), (42)
здесь С - уже произвольная постоянная, так как решение y = 0 входит в (42) при C = 0.
Теперь заменим в формуле (42) постоянную С на некоторую (искомую) функцию C(x), т.е. общее решение уравнения (40) будем искать в виде:
y = C(x)e-P(x). (43)
Из (43) следует:
y' = C'e-P(x) - Ce-P(x)p(x). (44)
Подставляя выражения для y и y' из (43) и (44) в (40), находим:
C'e-P(x) - Ce-P(x)p(x) + p(x)Ce-P(x) = f(x).
Отсюда получим, что:
C' = f(x)eP(x).
Следовательно:
. (45)
Подставив в (43) выражение для C(x), получим общее решение уравнения (40).
Итак, сформулируем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом Лагранжа (методом вариации постоянной).
1) Для заданного неоднородного уравнения (40) выписать соответствующее ему однородное уравнение (формула (41)).
2) Методом разделения переменных найти общее решение однородного уравнения (формула (42)).
3) В общем решении однородного уравнения заменить постоянную С на функцию C(x) (формула (43)).
4) Подставить полученное в пункте 3 выражение в исходное неоднородное уравнение и найти C(x) (формула (45)).
5) Выписать общее решение неоднородного уравнения, подставив выражение для C(x) в (43).
Пример 8. Решить уравнение:
.
Это линейное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид:
.
Разделяя переменные, имеем:
Откуда:
,
т.е. 
.
Полагая C = C(x), находим:
.
Подставив выражение для y и y' в исходное уравнение, получим:
.
Отсюда следует, что:
C'(x) = 5x4.
Значит:
C(x) = x5 + C1 (C1 = соnst).
Таким образом,
или 
.
Замечание 1. В некоторых случаях дифференциальное уравнение может быть приведено к линейному, если поменять ролями переменные y и x – искомую функцию и ее аргумент.
2. Для решения линейного дифференциального уравнения может быть также применен метод Бернулли, который заключается в следующем.
1) Решение уравнения (40) ищется в виде:
y = u(x)v(x), (49)
где u(x) и v(x) – некоторые функции, которые необходимо определить.
2) Выражение для y подставляется в исходное уравнение, и после группировки слагаемых оно принимает вид:
. (50)
3) Функция v(x) находится из уравнения:
. (51)
4) После подстановки найденной функции v(x) в уравнение (50) получается следующее уравнение для определения функции u(x):
. (52)
5) Искомое общее решение выписывается в виде произведения функций u(x) и v(x).
Уравнения Бернулли
1. Определение. Дифференциальное уравнение вида
y' + p(x)y = f(x)yn (n ¹ 0, n ¹ 1) (55)
называется уравнением Бернулли.
Заменой z = y1-n уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению:
z' + (1 – n) p(x)z = (1 – n) f(x).
Пример 11. Решить уравнение:
.
Это уравнение Бернулли (n= –2). Выполнив замену z = y3, получим z' = 3y2y'. Умножая обе части исходного уравнения на 3y2 (¹ 0), с учетом выражений для z и z', находим
z' - 3z = 3e6x.
Соответствующее линейное однородное уравнение z' - 3z = 0 имеет решение z = Ce3x. Применяя метод вариации постоянной, получаем:
C'(x)e3x + 3C(x)e3x - 3C(x)e3x = 3e6x,
т.е. C'(x) = 3e3x, C(x) = e3x + C1, где С1 – произвольная постоянная. Таким образом, z = e6x + C1e3x. Значит, 
.
Замечание 1. Уравнение Бернулли может быть решено непосредственно при помощи метода Лагранжа или метода Бернулли без предварительного приведения к линейному уравнению.
Пример 12. Решить задачу Коши:
.
Данное уравнение является уравнением Бернулли (n = 2). Решим его методом Лагранжа. Для этого рассмотрим сначала однородное линейное уравнение:
.
Разделяя переменные, находим:
y = Cx.
В соответствии с методом вариации постоянной решение неоднородного уравнения будем искать в виде y = C(x)x. Подставляя выражения для y и 
в исходное уравнение, имеем:
, 
.
Интегрируя это уравнение, получаем:
,
где С1 – произвольная постоянная. Отсюда:
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:
. (56)
Полагая в (56) x = 1, 
, находим:
.
Таким образом, C1 = 1 и решением задачи Коши будет:
.
Пример 13. Решить уравнение:
.
Данное уравнение представляет собой уравнение Бернулли (n = 4). Для его решения воспользуемся методом Бернулли. Положим y = u(x)v(x). В силу этого уравнение принимает вид:
. (57)
Функцию v(x) найдем как решение уравнения с разделяющимися переменными:
.
Интегрируя его, получаем частное решение:
.
Подставляя выражение для 
в уравнение (57), получаем:
.
Разделяя переменные, находим:
,
,
.
Перемножая u и v, получаем общее решение исходного уравнения:
.
