Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Общая схема исследования функций:
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.
3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти наклонные асимптоты графика функции.
6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.
7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.
1. Функция не определена, если
Область определения:
2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа
Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.
Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.
|
|
1. Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
1. Область определения симметрична относительно начала координат
2.
Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Функция не является периодической
4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
Найдем промежутки знакопостоянства функции
5. Найдем наклонные асимптоты где
Для k и b вычисляются аналогично
6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.
Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.
Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.
Составим таблицу
-2 | 1 | 7 | |||||
+ | 0 | + | не существует | - | 0 | + | |
0 | не существует | ||||||
возрастает | возрастает | убывает | min | возрастает |
|
|
Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума
7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.
Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.
Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .
Найдем точки перегиба
Составим таблицу
-2 | 1 | ||||
- | 0 | + | не существует | + | |
0 | не существует |
Точка - точка перегиба.
Дополнительные точки:
8. Построим график функции, используя результаты исследования.
Замечание:
При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.