Продолжение контр работы (номера 3-5)

Тульский филиал

Кафедра «Математика и информатика»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Для решения контрольной работы номер 1

По дисциплине

 МАТЕМАТИКА

Для студентов 1 курса, обучающихся по

Направлению 38.03.01 «Экономика»

(программа подготовки бакалавра)

К.ф.-м.н., доцент

Манохин Е.В.  

Утвержден на заседании

Кафедры «Математика и информатика»

Протокол 1 от 28.08.2015 г.

 

Тула 2015

 

К решению номера 1 контрольной работы номер 1.

Предел функции в точке.

 

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

 

0 < ïx - aï < D

верно неравенство                           ïf(x) - Aï< e.

 

       То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

 

Запись предела функции в точке:

 

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

 

Второй замечательный предел.

 

       Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме изложенных выше пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 

Примеры.

 

Пример. Найти предел.

 

 

 

Примеры.

1. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

 

2. Найти предел .

Так как 1 – cosx =  при х®0, то .

 

 

3. Найти предел.

 

 

 

4. Найти предел.

 

К решению номера 2 контрольной работы номер 1.

 

Пусть функция  определена на интервале .Определим:  - приращение аргумента  в точке , а  - приращение функции в точке .

Если существует конечный предел

, то он называется производной функции  в точке .

Значение производной  - есть угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке, абсцисса которой есть

Если  - закон прямолинейного движения точки, то первая производная пути по времени -есть скорость этого движения.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ;                              11. ;

2. ;                              12. ;

3. ;                                  13. ;

4. ;                                     14. ;

5. ;                              15. ;

6. ;                                   16. ;

7. ;                        17. ;

8. ;                         18. ;

9. ;                            19. .

10. ;

Пример.

Составить уравнения касательных к кривой y = x - 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

Решение.

При х =2, находим у = 4-8+3=-1 -5, то есть точка М не лежит на кривой y = x²-4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х ) – точка касания.

у ' =2х-4, k = 2x₀- 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у₀=-5-(2х₀-4)(2-х₀). Поскольку точка (х_0;y₀) лежит на кривой, получим

y_o = x₀ -4x₀+3.

Решим уравнение x₀ -4x₀+3 = -5-(2х₀-4)(2-х₀);

x₀ -4x₀+3=2x₀ -8x₀+3, x₀ - 4x₀=0, (х₀) =0, (х₀) = 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k₁= -4 (при х₀=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k₂=4 (при х₂=4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

 

ПРОДОЛЖЕНИЕ КОНТР РАБОТЫ (номера 3-5)