К решению номера 8 контрольной работы номер 1

Теоремы сравнения положительных рядов.

Пусть даны два положительных ряда:

и .

Теорема 1. Если выполняется неравенство: , начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.

Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов , , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды

1) сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда , так как , исследуемый ряд расходится.

2) Ряд сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда есть , постоянное число.

3) Сравним этот ряд с рядом , который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно, сходится.

Так как исследуемый ряд сходится.

4) Ряд сравним с рядом , который является расходящимся рядом. с учетом того, что .

Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.

Признак Даламбера.

Теорема. Рассмотрим ряд с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

1) Если 2) существует , тогда

. Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. .

Ряд сходится.

2. .

ряд сходится.

3. можно убедиться, что

Вычислим

исследуемый ряд сходится.

Признак Коши.

Теорема. Если 1) и 2) существует ,

тогда

Пример. Исследуйте на сходимость ряд .

, значит, ряд сходится.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд .

Интегральный признак сходимости Коши.

Теорема. Пусть 1) 2) не возрастают, 3) непрерывная не возрастающая функция такая, что . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом