Виды математических фракталов

Реферат

Фрактальность природных объектов

 

Автор: ученица 9 класса «Б»

Фокин Фёдор

Руководитель: Ветюков Д.А.

 

Москва

2012

Оглавление

 

       1. Введение………………………………………………………………………………3

2.Основная часть………………………………………………………………………...4

2.1. Виды математических фракталов

а)Геометрические………………………………………………………………..4

б)Алгебраические………………………………………………………………..4

в)Аттракторы. Странные аттракторы…………………………………………..5

г) Стохастические………………………………………………………………..7

2.2 Биологические фракталы

       а) Древние фрактальные животные…………………………………………….8

       б) Фрактальность современных живых организмов………………………….9

2.3 Механизм возникновения фрактальных структур в математике.

Возможность кодирования фрактала при помощи малого кода…………………….11

3. Заключение…………………………………………………………………………...12

4.Литература…………………………………………………………………………….12

 

 

Введение

Существует всего 2 типа фракталов: математические и физические (биологические). Математический фрактал (лат. fractus — дроблёный) — бесконечно самоподобная геометрическая фигура, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Реальные объекты, в частях которых можно заметить фрактальную структуру (т.е. самоподобие, простирающееся до очень мелких структур этих объектов) называются физическими фракталами. Их отличие от математических в том, что их самоподобие конечно, так как не существует тел с бесконечно малыми размерами элементов (размеры тел, по крайней мере, ограничены размерами атомов). Такие объекты мы можем встречать в природе повсеместно: лист дерева, дерево, облако, сеть кровеносных сосудов человека и т.д.

Наше предположение состоит в том, что наличие самоподобия (фрактальности) у живых организмов может являться принципиальным моментом организации живой материи. Развитие от простого к сложному, когда более мелкие структуры повторяют более крупные – это способ компактной схемы построения живого. В такой схеме на каждом уровне масштаба применяется один и тот же алгоритм построения. Целью нашего реферата является выяснение способов организации фрактальных структур (способов их конструирования в случае математических фракталов) и попытке осмысления их назначения в процессе развития живого организма.

Хотя в настоящее время тема фракталов достаточно популярна, назначение фрактальных структур у живых организмов освещена в литературе крайне скудно, поэтому основным источником информации для нашей работы является информация найденная в Интернете.

В начале основной части приведена информация о различных видах математических фракталах их особенностях и характеристиках. Затем мы остановимся на описании биологических объектов, имеющих фрактальную структуру. После этого мы попытаемся проанализировать алгоритмы конструирования фракталов в математике и природе, в заключение попытаемся сформулировать преимущества фрактальной организации в живых организмах.

      

Основная часть

Виды математических фракталов

       а) Геометрические фракталы

«Именно с этого вида фракталов началась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ним применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований, то получим геометрический фрактал».¹

 

 Рис 1. Снежинка Коха

«Из геометрических фракталов очень интересным и довольно хорошо известным является снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии длиной в  исходной. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций, то получим нужный фрактал, то есть снежинку Коха бесконечной длины».[1]