В) Аттракторы. Странные аттракторы

Пусть имеется нелинейная динамическая система, обладающая несколькими устойчивыми состояниями. Примером такой системы может быть магнитик на нитке, в случае если сбоку прикреплен еще один магнит. Магнитик может повиснуть в нижней точке, а может зависнуть сбоку, притягиваясь ко второму магниту. В таком случае у данной системы имеется два устойчивых состояния. Каждое из этих устойчивых состояний называется аттрактором. Математическое определение аттрактора следующее:

Аттрактор (англ. attract — привлекать, притягивать) — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.

Фазовое пространство динамической системы:

○ Система - это какие-либо тела, которые мы назвали системой.

○ Точка фазового пространства – набор характеристик системы, которые полностью эту систему описывают.

○ Фазовое пространство – совокупность всех возможных наборов характеристик системы.

Каждый аттрактор обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в него. В нашем примере имеется две области: если отпустить магнитик в одной области он притянется к одному аттрактору, если в другой - он притянется к другому. Если добавить еще два значения начальной скорости магнитика, мы получаем четырехмерное фазовое пространство, имеющее также две области притяжения к одному и другому аттрактору.

Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы.

Приведем еще один аттрактора.

Имеется шарик на пружинке. Его движение определяется только двумя числами характеризующими начальное состояние системы: растяжением пружинки и скоростью шарика. В этом случае фазовое пространство имеет два измерения: длину пружинки и скорость шарика. Аттрактором в этом случае будет точка 0,0, т.е. пружинка не растянута, а скорость равна нулю.

Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория движения у такого аттрактора непериодическая (она не замыкается), режим функционирования неустойчив (малые отклонения нарастают).

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в динамических системах называют динамическим хаосом. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Область притяжения к странному аттрактору является фрактальным объектом.

Попытаемся разобраться, почему возникает фрактальность областей притяжения к странным аттракторам. Разберемся для этого со следующим примером:

«Если раскачивать металлический маятник над тремя магнитами, лежащими в вершинах правильного треугольника симметрично от точки подвеса магнита и отмечать разными цветами области притяжения к каждому из них, то непосредственно вокруг самих магнитов будет область, полностью залитая цветом, соответствующим его области притяжения. Но если мы также попробуем точно определить границы областей притяжения, то у нас это не получится. Области притяжения на границах будут смешаны так, что в зоне притяжения одного магнита окажется участок области притяжения другого, в нём небольшой участок притяжения снова к первому. Мы обнаружим и такие участки, где все три цвета бесконечно перемешаны, так что там невозможно найти область притяжения одного магнита, которая не соприкасалась бы с зонами притяжения обоих других магнитов одновременно. Границы притяжения между магнитами будут фрактальны».[2]