Конспект урока 3 (2 часа)

3 4 5 6 7 8 9

Тема: «Вычисление площадей с помощью интегралов»

Цели урока:

Образовательные:

• знать общую схему и особенности вычисления площадей с помощью
интегралов;

• уметь проводить формализацию задачи.
Воспитательная:

• воспитание трудолюбия.
Развивающие:

• развитие познавательного интереса;

• развитие самостоятельности при работе с методическим материалом;

• формирование информационной культуры.
Методы обучения:

1. Проверочная работа;

2. Практическая работа.
План урока:

1. Организационный момент (3 мин)

2. Объявление целей урока (3 мин)

3. Практическая работа (30 мин)

4. Самостоятельная работа (40 мин)

5. Подведение итогов (4 мин)

Ход урока отображен в табл. 8.

Таблица 8.

Ход урока

Учитель		Ученики	Тетрадь
Здравствуйте. Садитесь.		Здравствуйте.
Тема нашего сегодняшнего урока «Вычисление площадей с помощью интегралов».			Вычисление площадей с помощью интегралов
Первый урок будет посвящен разбору примеров, после чего на втором уроке вы будете самостоятельно вычислять площади с помощью интегралов.
Сейчас я вам выдам раздаточный материал, в котором подробно описан ход вычисления площадей. Внимательно изучите и поэтапно выполните то, что от вас требуется. Если кто-то выполняет задание раньше, он может приступать к задачам для самостоятельного решения, которые приведены в конце раздаточного материала.		Ученики берут раздаточный материал, садятся за компьюте-ры и начинают работать.	Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х², у = 2х-х² и осью Ох. Построим графики функций у - х², у = 2х - х² и найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х² = 2х - х². Корни этого уравнения х₁ = 0, х₂ = 1. Данная фигура изображена на рис. 2.2. Из рисунка видно, что фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций: S = = 1 Задача 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом отрезке. Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, изображенной на рис. 2.3, т.е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком
				Таблица	8 (продолжение)
Учитель	Ученики			Тетрадь
				функции y = - cosx на отрезке . На этом отрезке - cosx 0, и поэтому S = = 2 В общем, если f(x) 0 на отрезке [а; b], то площадь S криволинейной трапеции равна S = Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х² +1 и прямой у = х + 3 Построим графики функций у = х²+1 и у = х + 3. Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х² +1= х+3. Это уравнение имеет корни x₁ = -1, х₂ = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рис. 2.4. Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей S₁ и S₂ двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1;2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = x + 3, а вторая - дугой параболы у = х² + 1. Так как S₁ = S₂ = то S = S₁ – S₂ = Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла: S= В общем, площадь фигуры равна: S = Эта формула справедлива для любых непрерывных функций f₁(x) и f₂ (х) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию Задача 4. Найти площадь S фигуры,

Таблица 8 (продолжение)

Учитель	Ученики	Тетрадь
		ограниченной параболами у = х² и у = 2х² -1.
		Построим данную фигуру, которая изображена
		на рис. 2.5, и найдем абсциссы точек пересечения
		парабол из уравнения х² = 2х² -1.
		Это уравнение имеет корни x_1,2=
		Воспользуемся формулой (1). Здесь f₁(x) = 2x² -1,
		f₂(х) = х².
		S =
		S =
Конец первого
урока.	Нет.
Все справились?
(Подходит к тем,
кто не успел и ищет
ошибку, указывает
на нее, но не	Да-
исправляет.)
Все успели?
Начало второго	Делают
урока.	самостоятельно.
Переходим к
решению
самостоятельных
задач.
Внимательно
ознакомьтесь и
приступайте к
решению. Задания
выполняете в той
же форме, как и
примеры. При
затруднениях
поднимайте руку, я
подойду.
Итак, все успели?	Да.
Сейчас я подойду к
каждому и проверю
решение.
У вас еще остались
вопросы по

Таблица 8 (окончание)

Учитель	Ученики	Тетрадь
пройденной теме?
Кто не успел решить
задачи на уроке,
должен будет их
доделать дома.

Раздаточный материал (из учебника «Алгебра и начала анализа». Ш. А. Алимов,

Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.)-

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х², у=2х-х² и осью Ох.

Построим графики функций у = х², у = 2х-х² и найдем абсциссы точек

пересечения этих графиков из уравнения х² =2х – х². Корни этого уравнения х₁= 0, х₂ = 1. Данная фигура изображена на рис. 3

Рис. 3. Фигура, ограниченная параболами у = х², у = 2х — х² и осью Ох

Из рисунка видно, что фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций

S =

Задача 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом отрезке.

Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, изображенной на рис. 4,

y=cosx

Рис. 4 Фигура, ограниченная отрезком и графиком функции у= cosx

т.е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком

функции y = -cosx на отрезке . На этом отрезке – cos x > 0, и поэтому

S = = 2

В общем, если f(x)<0 на отрезке [a;b], то площадь S криволинейной

трапеции равна S = )dx

Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х² +1 и прямой у = х + 3.

Построим графики функций у = х² +1 и у = х + 3. Найдем абсциссы точек

пересечения этих графиков из уравнения х²+1=x+3. Это уравнение имеет корни х₁ = -1, х₂ = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рис. 5.

Рис. 5. Фигура, ограниченная параболой у =. x ² +1 и прямой у = х + 3

Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей S₁ и S₂ двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1;2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = х+3, а вторая - дугой

параболы у = х² + 1. Так как S₁ = S₂ = то

S = S₁ – S₂ =

Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла:

S =

В общем, площадь фигуры равна:

S =

Эта формула справедлива для любых непрерывных функций f₁(x) и f₂(x) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию

f₂(x) f₁(x)

Задача 4. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = 2х²- 1

Построим данную фигуру, которая изображена на рис.6, и найдем абсциссы точек пересечения парабол из уравнения х² = 2х² -1.

ОД

у = 2х - 1

Рис 6. Фигура, ограниченная параболами у = х² и у = 2х² -1

Это уравнение имеет корни x_1,2 = ±1. Воспользуемся формулой (1). Здесь

f₁(x) = 2x² -1, f₂(х) = х².

S =
S =

Задания для самостоятельной работы.

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1. Параболой у = 4х - х², прямой у = 4 - х и осью Ох.

2. Параболой у = 3х², прямой y = 1,5х + 4,5 и осью Ох.

3. Графиками функций у = , у = (х-2)² и осью Ох.

4. Графиками функций у = х³, у =2 х – х² и осью Ох.

5. Графиком функции y = sin x, отрезком [0;π] оси Ох и прямой,

проходящей через точки (0;0) и

6. Графиками функций у = sinx, у = cos x и отрезком оси.

Приложение 2. Типологии познавательной активности учащихся.

Таблица 9.

Методический подход (по Г. И. Щукиной)	Технологический подход (по Т. И. Шамовой)	Уровни интенсивности познавательной активности учащихся (уровневый подход) (по Е. В. Коротаевой)
		Нулевая активность Учащийся пассивен, слабо реагирует на требования учителя, не проявляет желания к самостоятельной работе, предпочитает режим давления со стороны педагога.
Репродуктивно-подражательная активность Опыт в учебной деятельности накапливается через усвоение образцов, при этом уровень собственной активности личности недостаточен.	Воспроизводящая активность Ученик должен запомнить и воспроизвести полученные знания, овладеть способами применения знаний по образцу.	Относительная активность Активность учащихся проявляется лишь в определенных учебных ситуациях (зависит от интересного содержания урока, необычных приемов преподавания и т. д.), определяется в основном эмоциональным восприятием.
Поисково-исполнительская активность Ученик не просто принимает задачу, но и сам отыскивает средства ее выполнения (имеет место большая степень самостоятельности).	Интерпретирующая активность Выявление смысла, проникновение в сущность явления, стремление познать связи между явлениями, овладеть способом применения знаний в новых условиях.	Привычно-исполнительская активность Позиция учащихся обусловлена не только эмоциональной готовностью, но и наработанными привычными приемами учебных действий, что обеспечивает быстрое восприятие учебной задачи и самостоятельность в ходе ее решения.
Творческая активность Сама задача может ставиться школьником, и пути ее решения избираются новые, нестандартные.	Творческая активность Не просто проникновение в сущность явлений, их взаимосвязи, а попытка найти для этой цели новый способ.	Творческая активность Позиция учащихся характеризуется готовностью включаться в нестандартную учебную ситуацию, поиском новых средств для ее решения