Тема: «Вычисление площадей с помощью интегралов»
Цели урока:
Образовательные:
• знать общую схему и особенности вычисления площадей с помощью
интегралов;
• уметь проводить формализацию задачи.
Воспитательная:
• воспитание трудолюбия.
Развивающие:
• развитие познавательного интереса;
• развитие самостоятельности при работе с методическим материалом;
• формирование информационной культуры.
Методы обучения:
1. Проверочная работа;
2. Практическая работа.
План урока:
1. Организационный момент (3 мин)
2. Объявление целей урока (3 мин)
3. Практическая работа (30 мин)
4. Самостоятельная работа (40 мин)
5. Подведение итогов (4 мин)
Ход урока отображен в табл. 8.
Таблица 8.
Ход урока
Учитель | Ученики | Тетрадь | ||||
Здравствуйте. Садитесь. | Здравствуйте. |
| ||||
Тема нашего сегодняшнего урока «Вычисление площадей с помощью интегралов». | Вычисление площадей с помощью интегралов | |||||
Первый урок будет посвящен разбору примеров, после чего на втором уроке вы будете самостоятельно вычислять площади с помощью интегралов. |
| |||||
Сейчас я вам выдам раздаточный материал, в котором подробно описан ход вычисления площадей. Внимательно изучите и поэтапно выполните то, что от вас требуется. Если кто-то выполняет задание раньше, он может приступать к задачам для самостоятельного решения, которые приведены в конце раздаточного материала. | Ученики берут раздаточный материал, садятся за компьюте-ры и начинают работать. | Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2, у = 2х-х2 и осью Ох. Построим графики функций у - х2, у = 2х - х2 и найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х2 = 2х - х2. Корни этого уравнения х1 = 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на рис. 2.2. Из рисунка видно, что фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций: S = = 1
Задача 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом отрезке. Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, изображенной на рис. 2.3, т.е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком | ||||
| Таблица | 8 (продолжение) | ||||
Учитель | Ученики | Тетрадь | ||||
| функции y = - cosx на отрезке . На этом отрезке
- cosx 0, и поэтому S = = 2 В общем, если f(x) 0 на отрезке [а; b], то площадь S криволинейной трапеции равна S = Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х2 +1 и прямой у = х + 3 Построим графики функций у = х2+1 и у = х + 3. Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х2 +1= х+3. Это уравнение имеет корни x1 = -1, х2 = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рис. 2.4. Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей S1 и S2 двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1;2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = x + 3, а вторая - дугой параболы у = х2 + 1. Так как S1 = S2 = то S = S1 – S2 =
Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла: S=
В общем, площадь фигуры равна: S = Эта формула справедлива для любых непрерывных функций f1(x) и f2 (х) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию Задача 4. Найти площадь S фигуры, | |||||
Таблица 8 (продолжение)
Учитель | Ученики | Тетрадь |
ограниченной параболами у = х2 и у = 2х2 -1. | ||
Построим данную фигуру, которая изображена | ||
на рис. 2.5, и найдем абсциссы точек пересечения | ||
парабол из уравнения х2 = 2х2 -1. | ||
Это уравнение имеет корни x1,2= | ||
Воспользуемся формулой (1). Здесь f1(x) = 2x2 -1, | ||
f2(х) = х2. | ||
S =
| ||
Конец первого | ||
урока. | Нет. |
|
Все справились? | ||
(Подходит к тем, | ||
кто не успел и ищет | ||
ошибку, указывает | ||
на нее, но не | Да- | |
исправляет.) | ||
Все успели? | ||
Начало второго | Делают | |
урока. | самостоятельно. | |
Переходим к | ||
решению | ||
самостоятельных | ||
задач. | ||
Внимательно | ||
ознакомьтесь и | ||
приступайте к | ||
решению. Задания | ||
выполняете в той | ||
же форме, как и | ||
примеры. При | ||
затруднениях | ||
поднимайте руку, я | ||
подойду. | ||
Итак, все успели? | Да. | |
Сейчас я подойду к | ||
каждому и проверю | ||
решение. | ||
У вас еще остались | ||
вопросы по |
Таблица 8 (окончание)
Учитель | Ученики | Тетрадь |
пройденной теме? | ||
Кто не успел решить | ||
задачи на уроке, | ||
должен будет их | ||
доделать дома. |
Раздаточный материал (из учебника «Алгебра и начала анализа». Ш. А. Алимов,
Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.)-
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2, у=2х-х2 и осью Ох.
Построим графики функций у = х2, у = 2х-х2 и найдем абсциссы точек
пересечения этих графиков из уравнения х2 =2х – х2. Корни этого уравнения х1= 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на рис. 3
Рис. 3. Фигура, ограниченная параболами у = х2, у = 2х — х2 и осью Ох
Из рисунка видно, что фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций
S =
Задача 2. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком функции у = cos x на этом отрезке.
Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох, изображенной на рис. 4,
y=cosx |
Рис. 4 Фигура, ограниченная отрезком и графиком функции у= cosx
т.е. площади фигуры, ограниченной отрезком оси Ох и графиком
функции y = -cosx на отрезке . На этом отрезке – cos x > 0, и поэтому
S = = 2
В общем, если f(x)<0 на отрезке [a;b], то площадь S криволинейной
трапеции равна S = )dx
Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х2 +1 и прямой у = х + 3.
Построим графики функций у = х2 +1 и у = х + 3. Найдем абсциссы точек
пересечения этих графиков из уравнения х2+1=x+3. Это уравнение имеет корни х1 = -1, х2 = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рис. 5.
Рис. 5. Фигура, ограниченная параболой у =. x 2 +1 и прямой у = х + 3
Из этого рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей S1 и S2 двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1;2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = х+3, а вторая - дугой
параболы у = х2 + 1. Так как S1 = S2 = то
S = S1 – S2 =
Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла:
S =
В общем, площадь фигуры равна:
S =
Эта формула справедлива для любых непрерывных функций f1(x) и f2(x) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию
f2(x) f1(x)
Задача 4. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у = 2х2- 1
Построим данную фигуру, которая изображена на рис.6, и найдем абсциссы точек пересечения парабол из уравнения х2 = 2х2 -1.
ОД
ОД
у = 2х - 1
Рис 6. Фигура, ограниченная параболами у = х2 и у = 2х2 -1
Это уравнение имеет корни x1,2 = ±1. Воспользуемся формулой (1). Здесь
f1(x) = 2x2 -1, f2(х) = х2. | |
S =
| |
Задания для самостоятельной работы.
Найти площадь фигуры, ограниченной:
1. Параболой у = 4х - х2, прямой у = 4 - х и осью Ох.
2. Параболой у = 3х2, прямой y = 1,5х + 4,5 и осью Ох.
3. Графиками функций у = , у = (х-2)2 и осью Ох.
4. Графиками функций у = х3, у =2 х – х2 и осью Ох.
5. Графиком функции y = sin x, отрезком [0;π] оси Ох и прямой,
проходящей через точки (0;0) и
6. Графиками функций у = sinx, у = cos x и отрезком оси.
Приложение 2. Типологии познавательной активности учащихся.
Таблица 9.
Методический подход (по Г. И. Щукиной) | Технологический подход (по Т. И. Шамовой) | Уровни интенсивности познавательной активности учащихся (уровневый подход) (по Е. В. Коротаевой) |
Нулевая активность Учащийся пассивен, слабо реагирует на требования учителя, не проявляет желания к самостоятельной работе, предпочитает режим давления со стороны педагога. | ||
Репродуктивно-подражательная активность Опыт в учебной деятельности накапливается через усвоение образцов, при этом уровень собственной активности личности недостаточен. | Воспроизводящая активность Ученик должен запомнить и воспроизвести полученные знания, овладеть способами применения знаний по образцу. | Относительная активность Активность учащихся проявляется лишь в определенных учебных ситуациях (зависит от интересного содержания урока, необычных приемов преподавания и т. д.), определяется в основном эмоциональным восприятием. |
Поисково-исполнительская активность Ученик не просто принимает задачу, но и сам отыскивает средства ее выполнения (имеет место большая степень самостоятельности). | Интерпретирующая активность Выявление смысла, проникновение в сущность явления, стремление познать связи между явлениями, овладеть способом применения знаний в новых условиях. | Привычно-исполнительская активность Позиция учащихся обусловлена не только эмоциональной готовностью, но и наработанными привычными приемами учебных действий, что обеспечивает быстрое восприятие учебной задачи и самостоятельность в ходе ее решения. |
Творческая активность Сама задача может ставиться школьником, и пути ее решения избираются новые, нестандартные. | Творческая активность Не просто проникновение в сущность явлений, их взаимосвязи, а попытка найти для этой цели новый способ. | Творческая активность Позиция учащихся характеризуется готовностью включаться в нестандартную учебную ситуацию, поиском новых средств для ее решения |
Познавательная активность.
Цель: выявление уровней познавательной активности учащихся 5 А класса на начало учебного года по методикеЕ. В. Коротаевой.
Цель: выявление уровней познавательной активности учащихся 5 А класса на конец первого полугодия по методикеЕ. В. Коротаевой.
Цель: выявление уровней познавательной активности учащихся 10 Г класса на начало учебного года по методикеЕ. В. Коротаевой.
Цель: выявление уровней познавательной активности учащихся 10 Г класса на конец первого полугодия по методикеЕ. В. Коротаевой.
5 А класс
10 Г класс
Данные были получены с помощью наблюдения, анализа учебной деятельности учащихся и различных методик тестирования.