Критерии проверки и оценки решений

 

 

Задача 1.

 

Решите систему уравнений

 

Решение №1.

Из первого уравнения находим, что  или .

Уравнение  не имеет решений.

Подставим  во второе уравнение и получим, что .

Ответ: .

Решение №2.

Ответ: .

 

 

Решение №3.

Из второго уравнения . Подставляем в первое уравнение

, ,

 

Поэтому , что невозможно, так как   или , т.е.

.

Ответ: .

Комментарий.

 

       К каждому из приведенных решений №№1-3 могут быть предъявлены в той или иной мере существенные претензии. Например, в решениях №1 и №2 нет никакого упоминания о множестве значений синуса, т.е., формально, не обосновано, почему отброшен случай . В решении №1 много ненужных слов, а решение №3, как это принято называть, «не рационально». В решениях №№2 и 3 в ответ выписаны, формально, уравнения, а не множество решений системы уравнений, да и в решении №1 полагалось бы написать . В решении №3 запись , вообще говоря, неясно, что означает, и корректнее следовало бы писать .

Обсуждения решений этой задачи показали, что многие учителя, кроме того, считают совершенно необходимым введение новой переменной , явное выписывание дискриминанта и т.д.

Поиски некоего «оптимального», самого правильного, идеального решения – вещь затягивающая и в определенной степени увлекательная. Тут можно заострить методические копья, развернуть дискуссию на страницах печати, обвинить оппонента в полнейшей математической безграмотности и т.п.

Все это, однако, имеет довольно косвенное отношение к работе эксперта при проверке работ выпускников на ЕГЭ. Представим, что Вам при конкретной работе в качестве эксперта встретилось бы одно из решений №№1-3. В каждом из них ясно видна логика и конструкция всего решения, неверных утверждений, ошибок или описок нет, получен верный ответ.

Как же следует оценить эти решения? Можно пойти от противного, и переформулировать вопрос так. Если за такие решения не ставить 2 балла, то за что же их (2 балла) ставить? Только за те тексты, в которых есть явная ссылка на неравенство , а ответ выписан именно, как множество?? В таком случае, очевидно, что максимальный балл за решение этой задачи получат лишь несколько процентов всех участников экзамена. Напомним, что в силу новой структуры ЕГЭ-2010 по математике, к выполнению задания С1 вполне может приступить около 60-70% всех выпускников, т.е. более полумиллиона учеников. Поэтому излишне жесткие критерии оценивания выполнения этого задания могут в целом по стране дать лишь отрицательный эффект. Другими словами, позиция разработчиков КИМ ЕГЭ-2010 состоит в том, что за решения №№1-3 нельзя ставит 0 баллов, не следует ставить 1 балл, и, тем самым, эти решения заслуживают оценки в 2 балла.

Как уже отмечалось выше, в КИМ ЕГЭ-2010 по математике для всех типов заданий С1 предложено использовать унифицированные критерии оценивания. Выглядят они весьма кратко.

 

 

Критерии оценивания выполнения задания С1	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	2
Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cos x (sin x)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

       Отметим, что характер и критерии выставления 1 балла за выполнение задания С1 в 2010 году отличаются от предыдущих лет (2005-2009), когда оценка в 1 балл была очень сильно смещена к оценке в 2 балла. По критериям 2005-2009 гг. оценка в 1 балл выставлялась в тех случаях, когда задача по существу была решена полностью («…приведена верная последовательность всех шагов решения…»), но решение отличалось от «двубалльного» лишь наличием неточностей («…допущена одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющая на дальнейший ход решения…»). 

       В соответствии с критериями этого года при получении 1 балла вполне возможна ситуация, когда, решая систему уравнений, ученик после равенства  напишет  и включит «такие»  в ответ. В то же время, если ученик при решении квадратного уравнения, скажем, относительно  допускает вычислительную ошибку, «… не влияющую на дальнейший ход решения…», то решение неверно не только «…из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cos x (sin x)..» и по этой причине такое решение оценивается в 0 баллов. Грубо говоря, имеется некоторый приоритет ошибок: ошибки начального, первого рода (арифметические, в вычислениях) наказываются весьма сурово, ошибки в более продвинутом учебном материале (множества значений тригонометрических функций) оцениваются не так жестко.

       Для конкретности приведем четыре возможные ситуации в записях учащихся:

А) … ….

Б) …    ….

В) … или , т.е.    

Г) …. ….

            В случае А) ошибок нет, и не следует настаивать на явном текстуальном обосновании того, что уравнение  не имеет корней. В случае Б) явно приведено неверное решение квадратного уравнения, и, тем самым, решение неверно не «…только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cos x (sin x)..». По этой причине такое решение оценивается в 0 баллов, хотя ответ вполне может оказаться и верным. В случае В) есть арифметическая ошибка и опять же решение неверно не «…только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения cos x (sin x)..». Значит, и тут 0 баллов. 

Случай Г) – «пограничный», такие случаи практически всегда возникают при небольшой шкале оценок, примененных к большому массиву работ. Если трактовать его как неверное решение квадратного уравнения относительно синуса, то это – 0 баллов. Если его интерпретировать, как уравнение, верно решенное относительно , («…а корень  отброшен в уме…»), то при отсутствии ошибок в дальнейшем – это 2 балла. По крайней мере, при возможной апелляции работы учеником, у эксперта будет довольно большая головная боль: ведь ошибки в равносильностях из Г) нет.

Никто, кроме конкретного эксперта, оценивающего целиком всю конкретную работу конкретного ученика, не сможет принять тут (только по фрагменту Г)) однозначного решения относительно оценивания.