Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С3

Критерии проверки и оценки решений.

Задача 1.

Решите неравенство .

Решение №1.  

1) Неравенство определено, если  и если т.е. если .

2) Пусть . Тогда .

3) Пусть . Тогда . Поэтому в этом случае . Объединяя множества решений из 2) и 3), получаем ответ.

Ответ: .

Решение №2. Используем следующее утверждение: «Если функция  возрастает на множестве, то выражения  и  имеют одинаковый знак для всех  и  из этого множества». Сначала используем его для , а затем для .

.

Ответ:

Решение №3.  

Рассмотрим непрерывную функцию . Она определена при  и , т.е. . Найдем нули функции: .

Если , то  и . Поэтому  на всем промежутке . Если , то . Поэтому  на всем промежутке . В итоге, непрерывная функция меняет свой знак при прохождении через точку  (нуль числителя) и через точку (нуль знаменателя). Поэтому .

Ответ: .

Комментарий.

       Существует много различных способов оформления решения этого неравенства. Выше выбраны три, в определенном смысле «экстремальных» способа. Решение №1 (перебор случаев) крайне традиционно. Решение №2 использует так называемый «метод замены множителей», довольно широко известный в весьма узких кругах (следящих за тенденциями вступительных экзаменов в МГУ), но практически неизвестный рядовым пользователям школьных УМК. Решение №3 по существу есть обобщенный метод интервалов.

       «У каждого – свои недостатки». Есть они и у решений №№1-3. В решении №1 грамотнее было бы вместо запятых между неравенствами или системами неравенств расставить значки . Более того, словесный оборот «Пусть…Тогда…» подразумевает импликацию «из А следует В», в то время как для решения существенна именно равносильность. В решении №2 ответ записан (по мнению некоторых методистов) в ужасной форме: это не множество, а два неравенства, причем без указания связи между ними. Кроме того, в описании метода замены множителей, формально, отсутствует случай . В решении №3 нет обоснований непрерывности введенной функции, как нет и явных ссылок на те места, где эта непрерывность необходима.

Поиск «абсолютно идеальной» записи – красиво звучащая проблема, процесс решения которой является довольно увлекательной деятельностью, но весьма далекой от реалий работы экспертов при проверке работ на ЕГЭ по математике. Представим, что Вам при конкретной работе в качестве эксперта встретилось бы одно из решений №№1-3. В каждом из них ясно видна логика и конструкция всего решения, неверных утверждений, ошибок или описок нет, получен верный ответ. Все это соответствует случаю выставления максимального балла. Для заданий уровня С3 – это 3 балла.

Обратим внимание на то, что зачастую в представленных ниже решениях учеников полностью отсутствуют комментарии–слова и не всегда корректно используются знаки импликаций. Поэтому эксперту необходимо внимательно просмотреть все формулы и понять, правильна или нет общая логика решения и без особых причин не «наказывать» учеников за неправильное использования логических знаков.

Тонкость в данный момент состоит в том, что задача 1 взята, разумеется, не из реальных КИМ ЕГЭ-2010, эта задача предлагалась на одной из диагностических работ и для оценивания ее выполнения критерии несколько отличались от тех, которые будут на реальном ЕГЭ. Выглядели они вот так.

Процитируем и критерии, которые будут использоваться на реальном ЕГЭ-2010.

Последние критерии при выставлении 1 балла не всегда могут быть применены к решениям задачи 1, см. выше решения №№1 и 3, в которых просто нет никаких рациональных неравенств. Поэтому ниже будем использовать именно критерии из диагностической работы.