Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С4

Критерии проверки и оценки решений.

Задача 1.

Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковые стороны равны 5. Вершина треугольника, в которой пересекаются боковые стороны, служит центром данной окружности радиуса 2. Найти радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.

Решение.

Пусть  – середина основания. Обозначим через и  – точки пересечения данной окружности с прямой  (см. рисунок).

Искомых окружностей две: это окружности, описанные вокруг треугольников  и . Их радиусы найдем по формуле .

В треугольнике :  и

В треугольнике :  и

.

Ответ:  

Комментарий.

Эта задача — по планиметрии. В ней требуется найти радиусы двух окружностей, касающихся заданной в задаче окружности. Задача не очень проста, так как необходимо рассмотреть два случая касания: привычное – внешнее и непривычное – внутреннее.

· для вычисления искомых радиусов используются некоторые хотя и стандартные, но не слишком часто употребляемые в задачах факты – формулы.

·  разумеется, возможны другие способы решения, в которых будут определять положение центра окружности как точку пересечения «серединных перпендикуляров», составлять уравнение относительно радиуса, определять углы и применять теорему синусов и др.; примеры таких ученических решений приведены ниже.

При любом подходе к решению этой задачи от выпускника требуется понимание реализуемости различных геометрических конфигураций и умение вычислять стандартные элементы в заданном треугольнике.

Как и во всякой геометрической, и особенно, достаточно сложной геометрической задаче весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений. Излишняя требовательность к обоснованиям в принципе ведет к необходимости текста, изложение в котором начинается, грубо говоря, с аксиом, продолжается формулировками теорем, приведением нужных формул, и в котором только после этого происходит собственно решение задачи. В данном случае взыскательный и внимательный эксперт может задать, например, такие вопросы:

- почему, окружности, проходящие через точки А, С, Е или А, С, F действительно касаются данной окружности, где тут доказательство?

- почему искомых окружностей ровно две, а не больше, где тут обоснование??

       Вопросы резонные. Если трактовать эту задачу как пару задач («первая» – на построение, «вторая» – на вычисление), то в решении «первой» задачи приведена конструкция, но пропущены анализ и доказательство. Позиция разработчиков КИМ ЕГЭ-2010 состоит в том, что в задании С4 такой формальный пропуск является допустимым. Невозможно от выпускников школ на ЕГЭ требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и научно-методических статей. Достаточным является наличие ясного понимания возможности разных геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания (предъявления) этих конфигураций и грамотно проведенных вычислений.

Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется).

Снижать оценку только за это не рекомендуется.

       Наконец, специально отметим, некоторую несогласованность единственного и множественного числа в постановке вопроса задачи и в ответе на этот вопрос. Традиции отечественного геометрического образования таковы, что вопрос «Найти геометрический объект, удовлетворяющий некоторым условиям (или найти его числовую характеристику)», всегда трактовался как полное решение, т.е. отыскание всех объектов, удовлетворяющих условиям задачи. Мы следуем традиционному подходу и считаем нецелесообразным вопрос «Найти радиус окружности, касающейся данной и…» задачи 1 приводить в формулировке, скажем, «Найти радиусы всех окружностей, касающихся данной и…»