Геометричне тлумачення функції

1. Графік функції . Нехай в деякому проміжку задана функція . Розглянемо пару відповідних значень і , де , а ; образом цієї пари на площині є точка . Коли змінюється, точка описує деяку криву, яка є геометричним образом функції. За цих умов рівняння називають рівнянням кривої.

Означення. Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є допустимі значення аргументу, а ординатами – відповідні їм значення функції.

2. Геометричне зображення функції . Нехай дана функція, означена у деякій області площини (рис.5.1). Тоді кожній парі відповідає за формулою деяке значення . Інакше, кожній точці ставиться у відповідність точка , що є кінцем перпендикуляра до площини .

Якщо точка займе всі можливі положення в області , то пов’язана з нею точка у загальному випадку опише в просторі деяку поверхню . Отже, геометричним зображенням (графіком) функції двох змінних є, в загальному випадку, поверхня в просторі

Геометричне зображення функції трьох і більшого числа змінних не має простого геометричного змісту. В окремих випадках можна отримати наочне геометричне представлення про характер зміни функції, розглядаючи її лінії рівня (або поверхні рівня), тобто лінії (або поверхні), де дана функція зберігає стале значення.

Означення. Лінією рівня функції

називається множина всіх точок площини , для яких дана функція має одне і те саме значення (і зокрема). Отже, рівняння лінії рівня є рівняння , де - довільна стала.

Рис.5.1 Рис.5.2

Приклад. На рис.5.2 зображені лінії рівня функції . Надаючи невід’ємні значення ( не може бути від’ємним), одержимо відповідно лінії рівня функції: - точка - коло радіуса з центром

- коло радіуса з центром тощо.

Означення. Поверхнею рівня функції називається множина всіх точок простору для яких ця функція має одне і те саме значення (ізоповерхні).

Лінії і поверхні рівня постійно зустрічаються на практиці. Наприклад, з’єднавши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньою температурою або з однаковим середньодобовим тиском, матимемо відповідно ізотерми та ізобари.