Множина дійсних чисел

План

· Поняття множини.

· Множина дійсних чисел.

· Змінні та постійні величини.

· Функція однієї та декількох змінних, область визначення.

· Способи задання.

· Основні елементарні функції та їх графіки.

· Поняття неявної, складної та оберненої функцій

ВСТУП ДО АНАЛІЗУ

Поняття множин

Множина – одне з найпростіших (первісних) математичних понять, яке не можна означити через інші, ще простіші поняття. Його можна пояснити тільки за допомогою рівнозначних понять або на окремих прикладах.

Під множиною розуміють сукупність об’єктів об’єднаних в цю сукупність за певними ознаками. Наприклад, можна говорити про множину студентів даного курсу, множину чисел у натуральному ряді, множину сторінок у книжці тощо.

Множини позначають великими буквами латинського і грецького алфавітів. Об’єкти, що входять до складу множини, називають її елементами і позначають малими буквами алфавіту. Задати множину – це означає задати характеристику її елементів, за допомогою якої про будь-який об’єкт можна встановити, належить він цій множині чи ні. Так множину студентів даного курсу задають списком. Множина парних чисел характеризується тим, що кожний її елемент ділиться на число 2.

Якщо - множина, - її елемент, то це символічно записують: і читають: “ належить ”.

Символічний запис означає, що не належить

Якщо через позначено будь-який елемент множини, то записують:

.

Нехай маємо дві множини і . Якщо кожний елемент множини належить і множині , то називається підмножиною множини Цей факт записують так:

, або

і читають: “ міститься в ”, або “ містить в собі ”. Наприклад, кожний елемент множини, елементами якої є парні додатні числа, належить також і множині натуральних чисел.

Якщо кожний елемент множини належить і множині і, навпаки, кожний елемент множини належить множині то множини та називаються рівними:

Якщо множина містить безліч елементів, то її називають нескінченною, у противному разі – скінченою.

Якщо у множині немає жодного елемента, то її називають порожньою і позначають символом .

Для множини введемо такі операції.

Об’єднання множин. Нехай маємо дві множини і . Тоді множину яка містить у собі всі елементи множин та і не містить ніяких інших елементів, називають об’єднанням (сумою) множин та і записують:

Якщо задано множини , де може пробігати як скінчену, так і нескінченну множину значень, то об’єднання позначають так:

Переріз множин. Нехай маємо дві множини і Тоді множину , яка містить всі спільні елементи множин і і не містить ніяких інших елементів, називають перерізом /добутком/ множин та і записують:

Якщо ми маємо деякі множини , то переріз цих множин позначають так:

.

Різниця множин. Нехай маємо дві множини і . Тоді множину , що містить у собі всі ті елементи множини , які не належать множині , і не містить ніяких інших елементів, називаються різницею множин та і записують:

Множина дійсних чисел

Множина дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних чисел.

Цілі та дробові числа як додатні, так і від’ємні, а також число нуль називаються раціональними числами. Кожне раціональне число можна зобразити у вигляді нескоротного дробу ( - будь-які

натуральні числа, Числа, виражені нескінченними

неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними: сукупність раціональних та ірраціональних чисел – множиною дійсних чисел.

Основні властивості множини дійсних чисел відомі із шкільного курсу математики. Зупинимось докладніше на понятті абсолютної величини (модуля) дійсного числа.

Означення. Модулем дійсного числа називається число , якщо і протилежне йому число якщо

Модуль числа позначається символом і за означенням

З геометричної точки зору модуль числа означає відстань від точки числової осі з абсцисою до точки відліку 0. На основі геометричного змісту модуля дійсного числа можна довести такі властивості:

1)

2) якщо то

3) якщо то або або

Сформулюємо ряд теорем, що виражають властивості модуля дійсного числа.

Теорема 1. Модуль суми скінченого числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:

Теорема 2. Модуль різниці не менший за різницю модулів зменшуваного і від’ємника, тобто

Теорема 3. Модуль добутку скінченого числа співмножників дорівнює добутку модулів цих співмножників:

Теорема 4. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:

якщо