Принцип приближения по всем локальным критериям к идеальному решению

В основу данного подхода положена идея приближения по всем критериям. [7]

Пусть дана задача многокритериального программирования

max{f1(x)=F1},

max{f2(x)=F2},                                                                           (11)

:

max{fk(x)=Fk}, xєX,

(12)

и заданы граничные условия

…                                                                         

                       (13)

…                                                                                                 (14)

Среди решений системы (11) – (14) требуется отыскать такое значение вектора х*(х*1, …, х*n), при котором локальные критерии примут по возможности максимальное (минимальное) значение одновременно.

Рассмотрим каждую отдельную функцию fi(x) и допустим, что для каждого фиксированного i (i=1,m) решена задача максимизации. Пусть соответствующие оптимальные планы характеризуются векторами

… i=1,m                                                                                       (15)

На этих оптимальных планах определим значения критериев соответственно

…                                                                                          (16)

Естественно, что векторы (15), определяющие векторы точки в пространстве переменных (x1, x2,…, xn)є W, будут разными: некоторые из них могут совпадать друг с другом.

Рассмотрим вектор F(х) с компонентами F(x)|Foi из (15) и составим квадрат евклидовой нормы

…                                                                                                      (17)

вектора F(x) - Fo, определенного для всех xєW.

Заметим, что Fo будет представлять собой единичный вектор в пространстве вектора F(x). Назовем его идеальным значением вектора F(x). Поставленная задача теперь сформулируется так: дана система целевых функций (11) и даны условия задачи (12) – (14). Требуется определить точку xєW, в которой функция R(x) достигает минимума.

Таким образом, отыскание векторно-оптимального плана xєW в данной задаче сведено к оптимизации выражения (17) на решениях системы линейных неравенств (12) – (14). Поскольку выражение (17) представляет собой квадратичную функцию переменных х1, …, хп, то задача отыскания векторно-оптимального плана свелась к задаче выпуклого программирования:

Задана выпуклая функция R(x), определенная на множестве xєW. Требуется отыскать точку xєW, обеспечивающую выполнение условия R(x*) = minR(x), xєW.

Таким образом, алгоритм решения задачи (11) – (14) состоит из двух основных этапов:

этап 1: maxFi(x), i=1, m;

этап 2: min R(x).