Корни алгебраического уравнения

Если – корни уравнения (1.3), то для левой части справедливо разложение

. (1.6)

Произведя перемножение биномов в формуле (1.6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства (1.6), получим соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (1.3):

(1.7)

Если учитывать кратности корней, то разложение (1.6) принимает вид

где –различные корни уравнения (1) и – их кратности, причем .

Производная выражается следующим образом:

где Q(x) – полином такой, что

при k=1,2,…,m

Поэтому полином

является наибольшим общим делителем полинома и его производной , и может быть найден с помощью алгоритма Евклида [4]. Составим частное

и получим полином

с действительными коэффициентами , А₁, A₂,…, A_m, корни которого различны.

Таким образом, решение алгебраического уравнения с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкого порядка с различными корнями.

Число корней полинома в некоторой области

Полное число корней уравнения , расположенных на комплексной плоскости внутри простого замкнутого контура Г, можно определить на основании следующей теоремы

Теорема 1.4. Если полином P(x) не имеет корней на замкнутом контуре Г, то число корней N этого полинома внутри контура Г в точности равно изменению Arg P(x) при положительном обходе контура Г, деленному на , т.е.