Число действительных корней полинома

Общее представление о числе действительных корней уравнения (1.3) на интервале (a,b) дает график функции , где корнями являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Отметим некоторые свойства полинома P(x):

1. Если P(a)P(b)<0, то на интервале (a, b) имеется нечетное число корней полинома P(x) с учетом их кратностей.

2. Если P(a)P(b)>0, то на интервале (a, b) существует четное число или не существует вообще корней полинома P(x).

Вопрос о числе действительных корней алгебраического уравнения на данном промежутке решается методом Штурма.

Определение. Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля:

, ,…, (1.9)

Говорят, что для пары рядом стоящих элементов , системы (1.9) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т.е.

и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т.е.

Определение. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов , системы (1.9) называется числом перемен знаков в системе (1.9).

Определение. Для данного полинома P(x) системой Штурма называется система полиномов [1]

, , , ,…, ,

где , – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на , – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома на и т.д.

Замечание 1. Если полином не имеет кратных корней, то последний элемент системы Штурма есть отличное от нуля действительное число.

Замечание 2. Элементы системы Штурма можно вычислять с точностью до положительного числового множителя.

Обозначим через N(c) число перемен знаков в системе Штурма при x=c, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

Теорема 1.5. (теорема Штурма). Если полином P(x) не имеет кратных коней и , , то число его действительных корней на интервале в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома при переходе от до , т.е.

Следствие 1. Если , то число положительных и число отрицательных корней полинома соответственно равны

Следствие 2. Для того чтобы все корни полинома P(x) степени n, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Таким образом в уравнении (1.3) все корни будут действительными тогда и только тогда, когда:

1) система Штурма имеет максимальное число элементов n+1, т.е. m=n;

2) выполнены неравенства , т.е. старшие коэффициенты всех функций Штурма должны быть положительными.

С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраического уравнения, разбивая интервал (a,b), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов таких, что

Теорема Бюдана–Фурье

Так как построение системы Штурма, вообще говоря, требует громоздких вычислений, то на практике ограничиваются более простыми частными приемами подсчета числа действительных корней алгебраический уравнений.

Определение. Пусть дана конечная упорядоченная система действительных чисел

, , …, , (1.10)

где и .

С одной стороны, назовем нижним числом перемен знаков системы (1.10) число перемен знаков в преобразованной системе (1.10), где нулевые элементы

(, ) заменены элементами такими, что

Очевидно, что если система (1.10) не имеет нулевых элементов, то число N перемен знаков в этой системе по смыслу совпадает с ее нижним и верхним числами перемен знаков:

вообще же говоря, .

Теорема 1.6. (теорема Бюдана–Фурье). Если числа a и b (a<b) не являются корнями полинома P(x) степени n, то число N(a, b) действительных корней уравнения P(x)=0, содержащихся между а и b, равно минимальному числу перемен, знаков потерянных в системе последовательных производных

, , , …, , …, (1.11)

при переходе от x=a к x=b, или меньше числа на четное число, т.е.

где

и – нижнее число перемен знаков в системе (1.13) при x=a, – верхнее число перемен знаков в этой системе при x=b .

Предполагается, что каждый корень уравнения (1.3) считается столько раз, какова его кратность. Если производные не обращаются в нуль при x=a и x=b, то подсчет знаков упрощается, а именно:

Следствие 1. Если , то между a и b нет действительных корней уравнения (1.3)

Следствие 2. Если , то между a и b имеется ровно один действительный корень уравнения (1.3).

Замечание. Для подсчета числа потерянных знаков в системе (1.11), пользуются схемой Горнера, составляют два разложения:

(1.12)

. (1.13)

Пусть – нижнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.12) и соответственно – верхнее число перемен знаков коэффициентов разложения (1.13). Так как

, ,

то знаки чисел и совпадают со знаками системы (1.13) при x=a и x=b. Поэтому

Теорема Декарта. Число положительных корней алгебраического уравнения (1.3) с учетом их кратностей равно числу перемен знаков в системе коэффициентов

, , …, (1.14)

(где коэффициенты, равные нулю, не учитываются), или меньше этого числа на четное число.

Теорема Декарта представляет собой применение теоремы Бюдана–Фурье к интервалу .

Следствие. Если коэффициенты уравнения (1.3) отличны от нуля, то число отрицательных корней этого уравнения, с учетом их кратностей, равно числу постоянств знака в системе (1.14) его коэффициентов или меньше этого числа на четное число. (Доказательство этого утверждения следует из применения теоремы Декарта к полиному ).

Укажем также признак вещественности всех корней полинома .

Теорема Гюа. Если уравнение (1.3) имеет действительные коэффициенты и все корни его действительны, то квадрат каждого не крайнего коэффициента этого уравнения больше произведения двух его соседних коэффициентов, т.е. выполнены неравенства