2020-01-14
366
Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей 
- непрерывна, но точки роста 
образуют множество нулевой меры. Точкой роста 
функции называется значение ее аргумента 
такое, что производная 
.
Таким образом, 
почти всюду на области определения функции. Функцию , удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается 
при 
и 
при 
. Затем интервал 
разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента 
определяется значение 
- как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция определена для 
, ее значение 
, и для 
со значением 
. Полусумма этих значений равна 
и определяет значение 
на внутреннем сегменте 
. Затем рассматриваются отрезки
Рис. 36.1. Построение кривой Кантора.
и 
, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции . Таким образом, при 
функция 
- как полусумма чисел 
и 
. Аналогично на интервале 
функция 
. Затем функция определяется на интервале 
, на котором 
и т.д.
Суммарная длина всех внутренних сегментов равна
Поэтому, рассматривая интервал , говорят что функция 
- постоянная на множестве меры 1, на множестве меры 0 растет, но без скачков.
Известна теорема Лебега. Любая функция распределения может быть единственным образом представлена в виде суммы трех компонент: дискретной, непрерывной и сингулярной.
Сингулярные распределения практически не встречаются в реальных задачах и поэтому исключаются из нашего дальнейшего изучения.
