35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей
(35.1)
где - число, определяемое из условия нормировки:
. (35.2)
Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид: .
Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:
(35.3)
На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.
Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения
равномерно распределенной случайной величины.
35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:
, (35.4)
где , - числа, называемые параметрами функции . При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры , имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.
|
|
Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей
, (35.5)
где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись .
Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения
нормальной случайной величины.
35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если
. (35.6)
Этой плотности соответствует функция распределения
.
(35.7)
35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
(35.8)
Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует . Если , то
. (35.9)
35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида
(35.10)
Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная
(35.11)
при .
35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения , с вероятностью , которая определяется формулой Бернулли:
|
|
, (35.12)
где , - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид
, (35.13)
где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:
, (35.14)
где - дельта-функция.