Дисперсия случайной величины

40.1. Дисперсией случайной величины называется число

. (40.1)

Дисперсия является удобной характеристикой разброса значений около ее среднего значения . Часто используется для обозначения дисперсии символ . Тогда называется среднеквадратическим уклонением случайной величины . Если дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то размерность совпадает с размерностью случайной величины. Из (40.1) в соответствии со свойствами математического ожидания следует

. (40.2)

Таким образом,

. (40.3)

Если дискретная случайная величина со значениями и соответствующими вероятностями , то ее дисперсия

(40.4)

Если - непрерывная случайная величина и - ее плотность вероятности, то

. (40.5)

40.2. Рассмотрим примеры. Вычислим дисперсию нормальной случайной величины. Ее плотность определяется формулой (35.4). Подставим в (40.5), тогда

. (40.6)

Пусть , тогда ,

. (40.7)

Подстановка пределов в (40.7) дает нулевые результаты, а интеграл равен . Поэтому

. (40.8)

Таким образом, параметр в плотности нормальной случайной величины является дисперсией этой величины, а среднеквадратичное уклонение определяет эффективную ширину плотности : значение в раз меньше значения - в точке максимума.

40.3. В некоторых случаях для вычисления дисперсии удобно использовать формулу (40.3). Например, для экспоненциально распределенной случайной величины плотность имеет вид (35.8), а ее среднее . Вычислим

. (40.9)

Интеграл в (40.9) вычисляется по частям:

Таким образом, . Полученный результат подставим в формулу (40.3), тогда

. 40.10)

40.4. Вычислим дисперсию числа успехов в вероятностной схеме Бернулли, как пример вычисления дисперсии дискретной случайной величины. При этом также используем формулу (40.3), т.е. на первом шаге вычислим среднее от квадрата , а затем используя ранее полученный результат, дисперсию по формуле (40.3). Итак, среднее от квадрата

, (40.11)

где - распределение вероятностей Бернулли, поэтому

. (40.12)

Пусть , тогда и

.(40.13)

Здесь - вероятность появления успехов в последовательности из опытов. Поэтому , как вероятность достоверного события, состоящего в том, что число успехов будет любым в интервале от до . Первая сумма в (40.13) как математическое ожидание числа успехов в последовательности из опытов в соответствии с формулой (38.9). Подставим эти результаты в (40.13), тогда