Коэффициент асимметрии

 

Среднее и дисперсия случайной величины  - это числа, которые определяют такие свойства ее плотности вероятности  как положение центра и эффективную ширину. Очевидно, эти два числа не отражают всех особенностей плотности, в частности, степень симметрии или асимметрии плотности относительно математического ожидания - это новая характеристика, которую можно определить как некоторое число.

Для любой симметричной плотности  центральные моменты нечетного порядка равны нулю (доказательство приводится ниже). Поэтому простейший среди них - центральный момент третьего порядка может характеризовать асимметрию плотности распределения:

    ,                      (43.1)

где  - математическое ожидание,  - центральный момент - го порядка.

Асимметрию принято характеризовать коэффициентом асимметрии

    ,                                   (43.2)

где  - дисперсия случайной величины .

Рассмотрим доказательство утверждения о том, что для симметричной плотности  центральные моменты нечетных порядков равны нулю.

1). Пусть  - симметричная функция относительно некоторой точки , тогда

    ,                         (43.3)

поскольку  - антисимметричная функция относительно . Отсюда следует:

    .                        (43.4)

Таким образом, если  - симметричная функция относительно точки , то  - точка симметрии плотности вероятности – это математическое ожидание случайной величины. 

2). Пусть  - нечетное целое и  - симметричная функция, тогда , поскольку  - симметрична относительно математического ожидания , и  - антисимметрична относительно .

Выражение (43.2) для  можно представить через начальные моменты , . Из определения следует:

.

Аналогично центральный момент третьего порядка

.

 

Пусть случайная величина  имеет плотность вероятности:

    ,                            (43.6)

(распределение Рэлея), тогда вычисление  и подстановка в (43.2) приводит к результату .

Плотность вероятности с  имеет более тяжелый «хвост» в области больших положительных аргументов, и наоборот, при  более тяжелым является «хвост» плотности в области отрицательных аргументов.

 

Коэффициент эксцесса

 

Характеристикой степени сглаженности вершины плотности вероятности является число

    ,                                          (43.1)

называемое коэффициентом эксцесса.

Определим  для нормального распределения. Поскольку , то осталось вычислить

.

Пусть , тогда

.

Вычислим интеграл способом «по частям»:

.

Таким образом, . Подставим полученные результаты в (43.6), тогда .

Если , то плотность вероятности имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая плотности нормального распределения с той же дисперсией. Если , то вершина плотности распределения более плоская, чем у нормального распределения.