Среднеквадратическая ошибка

Пусть  - неизвестный параметр (число), характеризующий состояние системы. Для определения параметра  проводится опыт (измерение). Ситуация осложняется тем, что в процессе измерения на величину  накладывается помеха. Таким образом, измерению подлежит не число , а некоторая случайная величина , значения которой в каждом опыте точно предсказать невозможно.

Случайную величину  будем называть оценкой параметра . Тогда  - ошибка, также случайная величина. Характеристикой качества оценки  является ее среднеквадратическая ошибка

.                                                   (45.1)

Преобразуем это выражение:

                 (45.2)

Величина  - детерминированная, поэтому ее можно вынести за оператор , следовательно, второе слагаемое

Первое слагаемое (45.2) по определению

- дисперсия случайной величины . Введем обозначение

.                                       (45.3)

Число  называется смещением оценки . Таким образом, из (45.2) следует

                                   (45.4)

- среднеквадратическая ошибка является суммой двух неотрицательных слагаемых. Первое из них – дисперсия, или случайная (стохастическая) компонента ошибки, а второе – квадрат смещения – систематическая ошибка. Если , то оценка  называется несмещенной.

Пусть случайная величина  - имеет плотность вероятности . Тогда процедуре измерения можно дать геометрическую интерпретацию. На рис. 45.1 представлен график плотности вероятности оценки и показана систематическая ошибка , и случайная ошибка .

Рис. 45.1. Плотность вероятности оценки,

случайная и систематическая части ошибки.

Очевидно, идеальная процедура измерения (с нулевой среднеквадратической ошибкой) – это процедура, для которой плотность  близка к функции . Тогда , точка , а эффективная ширина .