Графическое изображение статистических данных

1 2 3 4 5 6 7

а) Полигоны распределения:

Условные обозначения:

x – уровень объема производства;

f - частота.

Рисунок 1.1 - Полигон распределения групп по уровню объема производства

Рисунок 1.1. иллюстрирует одновершинное умеренно ассиметричное распределение с правосторонней ассиметрией.

Условные обозначения:

x – уровень фондоотдачи;

f – частота.

Рисунок 1.2 - Полигон распределения групп по уровню фондоотдачи.

Рисунок 1.2. иллюстрирует одновершинное умеренно ассиметричное распределение с правосторонней асимметрией.

б) Построение кумуляты:

Условные обозначения:

х – уровень объема производства;

f – накопленные частоты.

Рисунок 1.3 - Кумулята ряда распределения по объему производства

Условные обозначения:

х – уровень фондоотдачи;

f – накопленные частоты.

Рисунок 1.4 - Кумулята ряда распределения по фондоотдаче

в) Секторная диаграмма:

Условные обозначения:

- доля группы с объемом производства 296-301;

- доля группы с объемом производства 301-306;

- доля группы с объемом производства 306-311;

- доля группы с объемом производства 311-316;

- доля группы с объемом производства 316-321;

- доля группы с объемом производства 321-326;

- доля группы с объемом производства 326-331.

Рисунок 1.5 - Секторная диаграмма по объему производства

Условные обозначения:

- доля группы с фондоотдачей 0,91-0,96;

- доля группы с фондоотдачей 0,96-1,01;

- доля группы с фондоотдачей 1,01-1,06;

- доля группы с фондоотдачей 1,06-1,11;

-доля группы с фондоотдачей 1,11-1,16

-доля группы с фондоотдачей 1,11-1,16.

Рисунок 1.6 - Секторная диаграмма по фондоотдаче

Рисунок 1.5. и рисунок 1.6. показывает, в какой группе наблюдается наибольшее число единиц.

Средние величины

Средними величинами в статистике называют такие показатели, которые выражают типичные черты и дают обобщенную количественную характеристику уровня какого-либо варьирующего признака по совокупности однородных общественных явлений.

Основной характеристикой центра распределения является средняя

арифметическая, опирающаяся на всю информацию об изучаемой совокупности единиц. Простая средняя соответствует простой совокупности объектов, в которой нет составных частей или групп; в целом она состоит из массы объектов с различными вариантами признака.

Средняя арифметическая вычисляется по формуле:

(1.7)

где - простая арифметическая;

- сумма всех значений единиц совокупности;

n - число единиц совокупности.

Следовательно, для распределения групп по объему производства:

Среднее значение объема производства составляет 310.

Для распределения групп по значению фондоотдачи:

Среднее значение фондоотдачи составляет 1.

Для вычисления средней арифметической взвешенной является обработанный материал, сгруппированные данные, то есть когда конкретные значения признака представлены разными частотами.

Средняя арифметическая взвешенная определяется по формуле:

(1.8)

где - взвешенная арифметическая;

- середина соответствующего интервала;

fi - частота соответствующего интервала.

Для распределения групп по значению объема производства взвешенная средняя арифметическая равна:

Для распределения групп фондоотдачи:

Вторым методом расчета взвешенной арифметической является способ моментов.

Взвешенная средняя арифметическая равна:

, (1.9)

, (1.10)

где - средняя арифметическая взвешенная;

i - величина интервала;

А - варианта, имеющая наибольшую частоту;

m - момент первого порядка;

f_i – частота соответствующего интервала;

- расчетное значение вариантов;

- центральный вариант соответствующего интервала.

Распределение групп по объему производства:

Распределение групп по фондоотдаче:

Важное значение имеет величина признака, которая встречается в соответствующем ряду и в совокупности – мода.

Мода рассчитывается по формуле:

(1.11)

где – нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота, соответствующая модальному интервалу;

- частота интервала, предыдущего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Для групп со средним значением объема производства:

Условные обозначения:

x – уровень объема производства;

f – частота.

Рисунок 1.7 - Мода для групп со средним значением объема производства

Для групп по значению фондоотдачи:

Условные обозначения

x – уровень фондоотдачи;

f – частота.

Рисунок 1.8 - Мода для групп со средним значением фондоотдачи

Медиана – значение варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части – со значениями признака меньше медианы и со значением признака больше медианы. Медина рассчитывается по формуле:

(1.12)

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- полусумма частот ряда;

k – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

- частоты медианного интервала.

Для групп по среднему значению объема производства:

Условные обозначения:

х – уровень среднего значения объема производства;

f - накопленные частоты.

Рисунок 1.9 - Медиана для распределения групп по среднему значению объема производства

Для групп по уровню фондоотдачи:

Условные обозначения:

x – уровень фондоотдачи;

f – накопленные частоты.

Рисунок 1.10 - Медиана для распределения групп по фондоотдачи

Показатели вариации

Вариация представляет собой изменение значений этого признака или его колеблемость за определенный период или на момент времени.

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:

R=x_max -x_min, (1.13)

Для распределения групп по объему производства:

R=329-298=31.

Разница между максимальным и минимальным значением объема производства составляет 31.

Для распределения групп по фондоотдаче:

R=1,15-0,92=0,23

Разница между максимальным и минимальным значением фондоотдачи составляет 0,23.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений варьирующего признака от его среднего значения без учета знака этих отклонений, рассчитывается по формуле для сгруппированного признака:

(1.14)

где d – среднее линейное отклонение;

- центральный вариант соответствующего интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота соответствующей группы.

Для распределения групп по объему производства:

Для распределения групп по фондоотдаче:

Для несгруппированного признака среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

, (1.15)

где d –среднее линейное отклонение;

- индивидуальное значение признака;

- простая средняя арифметическая;

n – численность совокупности.

Для групп по уровню объема производства:

Для групп по уровню фондоотдачи:

Среднее квадратическое отклонение определяется как средняя из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины, возведенных в квадрат. Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая отражает собой всю изучаемую совокупность. Среднее квадратическое отклонение для несгруппированного признака рассчитывается по формуле:

, (1.16)

где - среднее квадратическое отклонение;

- варианты совокупности;

- средняя арифметическая простая;

n – численность совокупности.

Для распределения групп по уровню объема производства:

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

Для сгруппированного признака:

, (1.17)

где - среднее квадратическое отклонение;

- центральный вариант соответствующего интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

- частота соответствующей группы.

Для распределения групп по объему производства:

Для распределения групп по фондоотдаче:

Среднее квадратическое отклонение для групп по уровню объема производства для несгруппированного признака составляет 8,71, для сгруппированного признака – 8,86.

Среднее квадратическое отклонение для групп по уровню фондоотдачи для несгруппированного признака составляет 0,075, для сгруппированного признака – 0,076.

Так как квадратическое отклонение больше, то это свидетельствует о наличии в совокупности резких выделяющихся отклонений не однородных с основной массой элементов, нарушающих развитие основной тенденции или закономерности совокупности.

Для характеристики однородности совокупности используется показатель - коэффициент вариации. Он применяется для выявления и характеристики ритмичности работы предприятий, колеблемости вкладов в банках, при организации выборочного обследования с целью установления ошибки и необходимой численности выборки, который рассчитывается по формуле:

(1.18)

где - коэффициент вариации;

- среднее квадратическое отклонение;

- средняя арифметическая.

Для распределения групп по уровню объема производства:

Так как коэффициент вариации меньше 33%, значит, совокупность групп по уровню объема производства однородна.

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

Так как коэффициент вариации меньше 33%, значит, совокупность групп по уровню фондоотдачи однородна.

Дисперсионный анализ

Дисперсия - это квадрат среднего квадратического отклонения.

Общая дисперсия вычисляется по формуле:

, (1.19)

где - общая дисперсия;

- варианты совокупности;

- простая средняя арифметическая;

n – число единиц совокупности.

Для распределения групп по уровню объема производства:

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки характеризует межгрупповая дисперсия , которая является мерой колеблемости частных средних по группам вокруг общей средней и исчисляется по формуле:

(1.20)

где - межгрупповая дисперсия;

- средняя арифметическая в соответствующей группе;

- простая средняя арифметическая;

- частота соответствующей группы.

Средняя арифметическая в соответствующей группе:

Для распределения групп по уровню объема производства:

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

Вариация, обусловленная влиянием фактора, положенного в основу группировки, для первого признака равна 74,3, для второго – 0,004116.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, в каждой группе

характеризует внутригрупповая дисперсия .

, (1.21)

где - внутригрупповая дисперсия;

- индивидуальное значение единицы совокупности из соответствующей группы;

- простая арифметическая соответствующей группы;

- частота соответствующей группы.

Для групп по уровню объема производства:

Для групп по уровню фондоотдачи:

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

(1.22)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий;

- дисперсия соответствующей группы (внутригрупповая дисперсия);

- частота соответствующей группы.

Для распределения групп по уровню объема производства:

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

Вариация, обусловленная влиянием прочих факторов, для групп по уровню объема производства равна 1,679, для групп по уровню фондоотдачи – 0,0002.

Между общей дисперсией , средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий:

(1.23)

Для распределения групп по уровню объема производства:

75,945=74,318+1,679

75,945=75,997.

Для распределения групп по уровню фондоотдачи:

0,004315=0,004116+0,0002

0,004315=0,004316.

Кривые распределения

Для расчета теоретических частот необходимо по фактическому интервальному ряду вычислить значения нормированных отклонений для каждой группы.

Оно определяется по формуле:

(1.24)

Теоретические частоты вычисляются по формуле:

(1.25)

где - значение функции Гаусса-Лапласа;

- теоретические частоты для определенной группы;

i – величина интервала;

- сумма эмпирических частот ряда;

- среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных;

- центральный вариант соответствующего интервала;

- средняя арифметическая взвешенная;

t_i – нормированное отклонение.

Таблица 1.6 - Расчет теоретических частот для распределения групп по уровню объема производства

Уровень объема производства	Код строки	Частота	Середина интервала
А	Б	1	2	3	4	5
296-301	1	3	298,5	1,42	0,1456	2
301-306	2	6	303,5	0,86	0,2756	4
306-311	3	7	308,5	0,29	0,3825	6
311-316	4	3	313,5	0,27	0,3847	6
316-321	5	3	318,5	0,84	0,2803	4
321-326	6	3	323,5	1,40	0,1497	3
326-331	7	2	328,5	1,96	0,0584	2
Итого	8	27				27

Таблица 1.7 - Расчет теоретических частот для распределения групп по уровню фондоотдачи

Уровень фондоотдачи	Код строки	Частота	Середина интервала
А	Б	1	2	3	4	5
0,91-0,96	1	5	0,935	1,24	0,1849	4
0,96-1,01	2	6	0,985	0,58	0,3372	6
1,01-1,06	3	7	1,035	0,08	0,3977	7
1,06-1,11	4	5	1,085	0,74	0,3034	6
1,11-1,16	5	4	1,135	1,40	0,1497	4
Итого	6	27				27