Полярная система координат

Высшая Математика. (1 семестр).

Билет 1:

Вопрос 1:Прямоугольная и полярная системы координат:

 

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу с общим началом координат О и одинаковой масштабной единицей составляют прямоугольную (декартову) систему координатна плоскости Оху. Эти оси называются осями координат, ось Ох – осью абсцисс, ось Оу – осью ординат.

 

 

Разместим в пространстве координатную плоскость Оху так, чтобы ось ординат Оу лежала в плоскости чертежа и была направлена вправо, а ось Ох была направлена вниз и была перпендикулярна осям Оу и Оz. Из точки О – начала координат – перпендикулярно Оху вверх проведем ось Оz – ось аппликат. Если на всех осях взять одинаковую масштабную единицу, то получаем прямоугольную декартову систему координат в пространстве Охуz. Оси Ох, Оу, Оz называются координатными плоскостями.

 

 

Полярная система координат.

 

Проведем из точки О – полюса – луч, который является полярной осью.

 

Положение любой точки на плоскости определяется парой чисел. Угол , на который нужно повернуть прямую О, чтобы она совпала с точкой М (поворот против чисовой стрелки). Полярный радиус – это длина отрезка ОМ.

М (; ), при этом 0 2П, а 0 + .

Совместим прямоугольную систему координат с полярной так, чтобы её начало совпадало с полюсом, а полярная ось - с осью абсцисс.

 

x = cos

y = sin

 

x² +y²= ²(cos² +sin² )

tg

 

Вопрос 2: Определение предела функции:

 

Определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ( или ), от которого зависит изменяющаяся величина ( или ). В случае условия эти множества имеют вид ; в случае - вид ; в случае - вид . Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний - базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, , , и т. п.

Таким образом,

 

Итак, база предела - это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если и - два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание , которое содержится в каждом из первых двух: .

Определение: Пусть - некоторая база и функция определена во всех точках некоторого окончания базы (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний ). Число называется пределом функции по базе (или при базе ) и обозначается если для любого (сколь угодно малого) числа найдётся такое окончание базы , что при всех выполняется неравенство . Тот факт, что , записывают ещё в виде

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости , на которой нарисован график функции , проведём горизонтальную полосу ширины вокруг горизонтальной прямой . Тот факт, что , означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы , на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

 

Билет 2:

Вопрос 1:  Расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве:

1). Если точки на плоскости:

А(x₁;y₁) и В(x₂;y₂)

AB=

 

2). Если точки в пространстве:

М(x₁;y₁;z₁) и N(x₂;y₂;z₂)

MN=

 

Вопрос 2: Теоремы о пределах:

Теорема 1: Предел суммы двух функций равен сумме их пределов.

 

Распространяется на любое конечное число слагаемых и на алгебраическую сумму. Доказательство основывается на том, что если , то f(x) можно записать как сумму предела и бесконечно малой величины. f(x)=a+ α(x), α(x) →0

Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

Теорема 3: предел произведения сомножителей равен произведению их пределов

Теорема 4: предел отношения двух функций, если предел , равен отношению их пределов:

Билет 3: