Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

, так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.