Вопрос 1: Деление отрезка в заданном отношении на плоскости и в пространстве

1). На плоскости:

Задан отрезок MN, который требуется разделить в отношение , при M(x₁;y₁), N(x₂;y₂), K(x;y).

=

(1+ )Х = Х₁+ λ Х₂

2). В пространстве:

Найти координаты точки М, при М₁=(x₁,y₁,z₁), М₁М=λ∙ММ₂, М₂=(x₂,y₂,z₂) можно по формулам:

.

Вопрос 2: Непрерывность функции. Точки разрыва:

Непрерывность функций:

Функция f(x), определенная в точке a, называется непрерывной в этой точке, если

По аналогии с понятием одностороннего предела вводятся понятия функции, непрерывной в точке a слева и справа. Функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

1). Функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

2). Функция не определена в данной точке.

Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B.

Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Вейерштрасса. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема о промежуточных значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.