2020-01-14
821
Функция распределения Ферми-Дирака для электронного газа в металлах
, где 
.
При T = 0 K 
(эту формулу можно применять и при T = T комн 
300 K с точностью до ~ 1 %).
Вычисление средних значений:
. (8.1)
При Т = 0 К приближенный расчет становится точным, так как все электроны в зоне проводимости металла будут располагаться ниже уровня Ферми.
Задача 13
Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 Кзадается формулой: 
. Энергия Ферми некоторого металла равна 
= 4 эВ. Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти 
.
Решение:
В данной задача 
. Подставляем эту функцию в формулу (8.1) и рссчитываем 
:
Ответ: 2,5×10–165Дж9
8-1. Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 Кзадается формулой: . Энергия Ферми некоторого металла равна = 4 эВ. Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти
а) 
; б) 
; б) 
; г) 
Ответы:
а) 1,76×10–37 Дж2; б) 8,74×10–56 Дж3; в) 4,58×10–74 Дж4; г) 2,48×10–92 Дж5
8-2. По условию 8-1 найти среднее значение энергии в любой степени.
8-3. Распределение Ферми-Дирака для электронного газа в металлах при температуре Т = 0 Кзадается формулой: . Для свободных электронов из зоны проводимости проводника при Т = 0 К найти
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Ответы: а) 1,19; б) 1,48; в) 1,07; г) 3
Закон радиоактивного распада.
При радиоактивном распаде уменьшение количества ядер в образце за небольшой промежуток времени 
пропорционально количеству атомов и этому промежутку времени: 
. Интегрируя это выражение, приходим к закону радиоактивного распада:
, (9.1)
где l – постоянная распада.
Из формулы (9.1) следует, что число ядер, распавшихся в промежуток времени от 
до 
равно
. (9.2)
Периодом полураспада называется время, за которое распадается половина первоначального количества радиоактивных ядер. Используя формулу (9.1), можно показать, что 
.
Среднее время жизни ядра можно рассчитать по формуле
(9.3)
Задача 14
Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти среднее время жизни ядер этого образца, если через время = 1 мин распадается 30% от первоначального количества этих ядер?
Решение:
Если распадается 30% ядер, то в образце остается 70% ядер, т.е.
. (9.4)
Подставляя постоянную распада, найденную из формулы (9.4), в формулу (9.3), найдем среднее время жизни:
Ответ: 168 c = 2,8 мин;
9-1. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Период полураспада этого изотопа равен Т. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,4×1020; = 1 мин; 
= 3 мин; Т = 2 мин.
Ответ: 2,26×1020
9-2. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Период полураспада этого изотопа равен Т. N = 6,4×1020; = 1 мин; Т = 2 мин.
а) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?
б) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?
Ответы: а) 1,87×1020; б) 4,53×1020
9-3. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Постоянная распада этого изотопа равена l. N = 6,4×1020; = 1 мин; l = 0,03 с–1.
а) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?
б) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?
Ответы: а) 1,06×1020; б) 5,34×1020
9-4. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Постоянная распада этого изотопа равена l. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,4×1020; = 1 мин; = 3 мин; l = 0,03 c–1.
Ответ: 1,03×1020
9-5. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Среднее время жизни этого изотопа равно t. Сколько ядер образца распадется за промежуток времени от до ? N = 6,4×1020; = 1 мин; = 3 мин; t = 2 мин.
Ответ: 2,45×1020
9-6. Радиоактивный образец, содержащий N ядер радиоактивного изотопа, поместили в герметичный сосуд. Среднее время жизни этого изотопа равно t. N = 6,4×1020; = 1 мин; t = 2 мин.
а) Сколько ядер образца распадется к моменту времени ?
б) Сколько ядер образца останется к моменту времени ?
Ответы: а) 2,52×1020; б) 3,88×1020
9-7. Концентрация ядер одного изотопа с периодом полураспада Т 1 в k раз превышала концентрацию ядер другого изотопа с периодом полураспада Т 2. Через какой промежуток времени
а) концентрация ядер этих изотопов станут равными?
б) концентрация ядер первого изотопа станет в k раз меньше концентрации ядер второго изотопа?
k = 2; Т 1 = 3 мин; Т 2 = 5 мин.
Ответы: а) 450 c = 7,5 мин; б) 15мин=900 с
9-8. Концентрация ядер одного изотопа с постоянной распада l1 в k раз превышала концентрацию ядер другого изотопа с периодом полураспада Т 2. Через какой промежуток времени
а) концентрация ядер этих изотопов станут равными?
б) концентрация ядер первого изотопа станет в k раз меньше концентрации ядер второго изотопа?
k = 2; l1 = 0,005 с–1; Т 2 = 5 мин.
Ответы: а) 258 с; б) 515 с
9-9. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а период полураспада равен Т. Е В = 100 МэВ; N 0 = 2,5×1010; Т = 2 мин; t = 5 мин.
Ответ: 0,329 Дж
9-10. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а постоянная распада равна l. Е В = 100 МэВ; N 0 = 2,5×1010; l = 0,08 с–1; t = 2 мин.
Ответ: 0,400 Дж
9-11. Энергетический выход реакции деления ядра некоторого нестабильного изотопа Е В. Сколько тепла (в Дж) выделилось за время t, если первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а среднее время жизни ядра равно t. Е В = 100 МэВ; N 0 = 2,5×1010; t = 5 мин; t = 2 мин.
Ответ: 0,132 Дж
9-12. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а среднее время жизни ядра равно t. Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N 0 = 2,5×1010; t = 5 мин; t = 2 мин.
Ответ: 152 МэВ
9-13. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а период полураспада равен Т. Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N 0 = 2,5×1010; Т = 2 мин; t = 5 мин.
Ответ: 60,7 МэВ
9-14. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N 0, а постоянная распада равна l. Найти энергетический выход (в МэВ) реакции деления одного ядра. Q = 0,2 Дж; N 0 = 2,5×1010; l = 0,05 с–1; t = 2 мин.
Ответ: 50,1 МэВ
9-15. При распаде ядер радиоактивного изотопа выделилось Q тепла за время t. Первоначальное число ядер этого изотопа N 0, энергетический выход реакции деления одного ядра Е В. Найти период полураспада ядер этого изотопа (в мин). Q = 0,2 Дж; Е В = 100 МэВ; N 0 = 2,5×1010; t = 2 мин.
Ответ: 2 мин
9-16. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Сколько процентов ядер образца
а) распадется за промежуток времени от 
до 
?
б) останетсячерез время ?
= 1 мин; 
= 3 мин; Т = 2 мин.
Ответы: а) 35,4%; б) 70,7 %
9-17. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Через какое время в образце останется 30% радиоактивных ядер этого изотопа? Т = 2 мин.
Ответ: 208 с=3,47 мин
9-18. Радиоактивный образец, содержащий изотоп с периодом полураспада Т, поместили в герметичный сосуд. Через какое время распадется 30% радиоактивных ядер этого изотопа? Т = 2 мин.
Ответ: 61,7 с=1,03 мин
9-19. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти период полураспада ядер этого образца, если через время = 1 мин.
а) распадается 30% от первоначального количества этих ядер?
б) останется 30% от первоначального количества этих ядер?
Ответы: а) 117 с=1,94 мин; б) 34,5 с=0,576 мин
9-20. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти постоянную распада ядер этого образца, если через время = 1 мин.
а) распадается 30% от первоначального количества этих ядер?
б) останется 30% от первоначального количества этих ядер?
Ответы: а) 0,00594 с–1; б) 0,0201 с–1
9-21. Радиоактивный образец поместили в герметичный сосуд. Найти среднее время жизни ядер этого образца, если через время = 1 мин останется 30% от первоначального количества этих ядер?
Ответ: 49,8 с=0,83 мин
