Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Одномерный квантовый гармонический осциллятор

Разрешенные значения энергии микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной a с бесконечными стенками определяются формулой

, где n = 1,2,3... (4.1)

При поглощении фотона с энергией электрон может перейти на вышележащий уровень энергии (см. рис.1). Такой переход называется возбуждением электрона. При переходе с верхних возбужденных уровней на более низкие уровни энергии электрон испускает фотон с энергией (см. рис.1 и рис.2)

, (4.2)

где – энергия верхнего уровня, с которого осуществляется переход, – энергия уровня, на который переходит электрон. Эти энергии определяются по формуле (4.1), подставляя в нее номера уровней и .

Разрешенные значения энергии одномерного квантового гармонического осциллятора определяются формулой

, (4.3)

где n = 0, 1, 2, 3..., – собственная циклическая частота квантового осциллятора.

Энергия фотона, испущенного осциллятором при переходе из какого-либо возбужденного состояния в нижележащее, определяется формулой (4.2).

Задача 7

Микрочастица с массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной а. Энергия микрочастицы на втором возбужденном уровне равна Е = 36 эВ. Найти импульс излученного фотона при переходе микрочастицы в основное состояние. Постоянная Планка Дж×с

Решение:

Номер второго возбужденного уровня , а основного уровня . Из формулы (4.1) расчитаем выражение:

По формуле (4.2) найдем энергию излученного фотона:

Импульс фотона равен :

Ответ: 1,71×10^–26 кг×м/с;

Задача 8

Находясь в основном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энергией Е = 9 эВи оказался в третьем возбужденном состоянии. Найти наименьшую частоту волны фотона, который может быть излучен этим осциллятором. Постоянная Планка Дж×с

Решение:

Номер основного состояния квантового осциллятора равен , а номер третьего возбужденного состояния – . Используя формулы (4.3) и (4.2) найдем :

Наименьшую частоту (а значит и наименьшую энергию) будет иметь фотон, излученный осциллятором при самом коротком переходе его из верхнего состояния () в соседнее нижнее состояние ().

Найдем частоту

Ответ: 7,24×10¹⁴ Гц

4-1. Микрочастица с массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной а. Постоянная Планка Дж×с

а) Энергия микрочастицы на втором возбужденном уровне

равна Е = 36 эВ.

б) Энергия микрочастицы на третьем возбужденном уровне

равна Е = 32 эВ.

в) Энергия микрочастицы на третьем уровне равна Е = 36 эВ.

г) Энергия микрочастицы на четвертом уровне равна Е = 32 эВ.

А) Найти энергию излученного фотона (в эВ) при переходе микрочастицы в основное состояние.

Б) Найти длину волны излученного фотона (в нм) при переходе микрочастицы в основное состояние.

В) Найти импульс излученного фотона при переходе микрочастицы в основное состояние.

Ответы:

А) а) 32 эВ; б) 30 эВ; в) 32 эВ; г) 30 эВ

Б) а) 38,8 нм; б) 41,4 нм; в) 38,8 нм; г) 41,4 нм

В) а) 1,71×10^–26 кг×м/с; б) 1,6×10^–26 кг×м/с; в) 1,71×10^–26 кг×м/с;

г) 1,6×10^–26 кг×м/с

4-2. Микрочастица с массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной а.

Находясь в основном состоянии, микрочастица поглотила фотон с энергией Е_ф и перешла

а) во второе возбужденное состояние. Е_ф = 8 эВ.

б) в третье возбужденное состояние. Е_ф = 15 эВ

в) на третий энергетический уровень. Е_ф = 8 эВ.

г) на четвертый энергетический уровень. Е_ф = 15 эВ.

Затем эта частица совершила один переход в одно из состояний с меньшей энергией.

А) Найти наименьшую энергию фотона (в эВ), который может быть излучен этой частицей при таком переходе.

Б) Найти наименьший импульс фотона, который может быть излучен этой частицей при таком переходе.

В) Найти наибольшую длину волны фотона(в нм), который может быть излучен этой частицей при таком переходе.

Ответы:

А) а) 5 эВ; б) 7 эВ; в) 5 эВ; г) 7 эв

Б) а) 2,67×10^–27 кг×м/с; б) 3,73×10^–27 кг×м/с; в) 2,67×10^–27 кг×м/с;

г) 3,73×10^–27 кг×м/с.

В) а) 248 нм; б) 178 нм; в) 248 нм; г) 178 нм

4-3. Находясь в основном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энергией Е_ф и оказался

а) во втором возбужденном состоянии. Е_ф = 8 эВ.

б) в третьем возбужденном состоянии. Е_ф = 9 эВ.

Найти наибольшую длину волны фотона (в нм), который может быть излучен этим осциллятором.

Ответы: а) 311 нм; б) 414 нм

4-4. При переходе одномерного квантового гармонического осциллятора из четвертого возбужденного состояния в основное был излучен фотон с энергией Е = 8 эВ. Найти

а) длину волны фотона (в нм), который был бы излучен при переходе на соседний энергетический уровень.

б) частоту фотона, который был бы излучен при переходе на соседний энергетический уровень.

в) частоту фотона, который был излучен при последующем переходе в основное состояние.

Ответы: а) 622 нм; б) 4,82×10¹⁴ Гц; в) 5,79×10¹⁵ Гц

4-5. При переходе одномерного квантового гармонического осциллятора из четвертого возбужденного состояния на соседний энергетический уровень был излучен фотон с энергией Е = 8 эВ. Найти длину волны фотона (в нм), который был излучен при последующем переходе в основное состояние.

Ответ: 51,8 нм

4-6. Находясь в первом возбужденном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энергией Е = 8 эВи оказался в третьем возбужденном состоянии. Найти

а) наибольшую длину волны фотона (в нм), который может быть излучен этим осциллятором.

б) наименьшую длину волны фотона (в нм), который может быть излучен осциллятором в этом состоянии.

в) наименьшую частоту фотона, который может быть излучен этим осциллятором.

г) наибольшую частоту фотона, который может быть излучен осциллятором в этом состоянии

Ответы: а) 311 нм; б) 104 нм; в) 9,65×10¹⁴ Гц; г) 2,88×10¹⁵ Гц

4-7. Находясь в основном состоянии, одномерный квантовый гармонический осциллятор поглотил фотон с энергией Е = 8 эВ и оказался во втором возбужденном состоянии. Найти наименьшую частоту фотона, который может быть излучен этим осциллятором.